中国剩余定理

数学研究所 李文林 袁向东

在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”①，甚至远渡重洋，输入日本：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，除百令五便得知。”

这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。

“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组

n=3x+2，n=5y+3，n=7x+2

的正整数解n，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：

n 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②

《孙子算经》所给答案是n＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：

n＝70×3＋21×3＋15×2－2×105。

这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以r1、r2、r3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式

n＝70×r1＋21×r2＋15×r3－p×105（p是整数）。

孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：

也就是说，这三个数可以从最小公倍数m＝3×5×7＝105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1＝2，k2＝1，k3＝1，那么整数ki（i＝1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是r1、r2、r3的情况下，

综合以上三式又可得到

因为m＝3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：

这里p是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数n，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数r1、r2、……rn，即

n≡ri（modai）（i＝1、2、……n），

只需求出一组数ki，使满足

那么适合已给一次同余组的最小正数解是

（p是整数，m＝a1×a2×……×an），这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。

孙子问题出现在公元四世纪的中国算书中，这并不是偶然的。我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是r1日，离平朔时刻是r2日，那么《景初历》上元积元数n就是同余组

an≡ri（mod60）≡r2（modb）

的解①。