补充资料：Weierstrass定理

Weierstrass定理
Weierstrass theorem:

3)羊方万升竺翼儿公福‘亡的区域D内的仕一乐Wderstrass定理【节阳ierstrass theomn;Be曲eP山TpaCcaTeoPeMa」 l)W己lerstrass无穷积定理(叭几记rstrass infinitepr浏uct theo~)(【11):对复平面C中每个给定的点列 0，…，o，，，，“2，…，(l) o<}‘*!毛l“*+、I，k一l，2，”.么巧只〕!“，l一的，存在以且只以这一序列中的点:*为零点的整函数.这一函数可以构造为典型积(c anohical pll刃uct) 、，_、__*合了，:、_，“:、，。、 fF!乞1=万二11一—1 e.、一产.t乙) 孟一，\““/其中又是序列(l)中零的重数，而 p.(:、一二十~兰-十…+-三全一 “*乙“元m*“泥’乘一子 ，，，厂:二__、_厂，:、_，;‘t) FFt—二m‘，二11一—l己.‘、一产 \仪、’/\江*/称为Weierstrass素乘子(Weierstrassp~multiP-lier)或W七lerstrass初等因子(W已ierstrass el~ntaryfactor).指数川*要选得足以保证积(2)的收敛性;例如，选取m*=k可保证对任何形如(l)的序列(2)均收敛. 从这一定理还能得到，任一以(1)为其零点序列的整函数具有 f(:)=e“(“)评(:)的形式，其中w(习是典型积(2)，g(习是整函数(亦见关于整函数的H台山叨留d定理(Hadarnard theo-renl)). W已ierstrass无穷积定理可以推广到任意区域DCC的情形:对任一在D中没有极限点的点列王:*}CD，存在D中的全纯函数f，它以且只以所给诸点“*为零点. 上述定理中涉及具有任意指定零点的整函数存在性的部分可以如下地推广到多复变量函数的情形:设复空间C”(”)l)的每个点“都对应于该点的一个邻域U二和在U。中全纯的一个函数f:，且假定这一对应满足:如果点“，口〔C”所对应的邻域之交U:自U。非空，则商f。/f，笋0是U，门U，中的全纯函数.在这些条件下，存在C”中的整函数f，使得商f/.f:在每个点:任C”处是全纯函数.这一定理称为Cousin芋于宇理(Cousin second theorern)(亦见COUsin问题(Cousin problelns)).2)关于函数逼近的Weierstrass定理二对区间【a，b]上的任一连续实值函数厂(x)，存在在「“，b]上一致收敛于所给函数f(x)的代数多项式序列尸。(x)，p;(x)，…，p。(x)，…;此定理系K.Weierstrass所建立([1]). 类似结果对所有空间Lp[“，b1均成立·Jackson定理(J血ekson theorenl)是这一定理的加强. 所述定理对周期为27T的实值连续函数与三角多项式也成立;同样对在m维空间的有界闭域上连续的实值函数和m元多项式成立.关于此定理的推广，见St.姆一Wderstrass定理(Stone一W己ierstrass theorern).关于用多项式逼近复变函数，见【3].数，其各项具有最低可能次数、)1，且假定存在形如。:之(c尹O)的一个项，则级数f可表示为 厂二(:二十f，式一’+…+f、)g，其中厂，，二，f，是C【【:，，…，;。一、」」中的级数，其常数项为零，g是Ctl:』，…，:，3」中具有非零常数项的级数.形式幂级数ft，…，f:和g由f唯一确定. 有时也把下述除法定理(division theore们n)称为W匕ierstrass预备定理:设级数 f任CI【z:，…，:。」1满足上面开列的条件，并设g是Cll:、，…，:。〕〕中任一级数，则存在级数 h‘C[l:.，·，:。}l和、个级数 a，‘C走[“，，“‘，万。一]]，a，(o，‘”，o)二o， ]”0，…，s一1，满足下述方程 g二权f+a。+“，:。+…十“、_】:二一’. V六三ierstrass预备定理也可应用于形式有界级数(forma】】y botulded~s)的环.它提供了例如从C【【:.，…，:。_，」1到C【【:1，…，:。」」的一种归纳转移方法.通过这一途径就有可能建立环C「:，，…，:，t」和C【【::，…，:。」」的某些性质，诸如它是Noe-ther环或具有唯一因子分解性质等.也存在这一定理到可微函数的推广(f61).【补注】W匕ierstrass预备定理中出现的多项式 艺;+厂，(公，，‘二，:。一、)z二一’十…+ 十f、(:、，·…:。_1)，称为:。的s次Weierstrass多项式(Weierstrass poly-nol而al)， W匕ierstrass预备定理对于可微函数的推广有多种名称，它称为可微预备定理(dill七rentiablep即姗-tionthe。~)，或Mal肠王n罗预备定理(Ma】gran罗PreP王讲1七on theo~)，或Malgl飞组nge一M at】ler预备定理(Malglull罗一Matller prepaJ甩tion theo~).设F是R xR”中0的某个邻域上的光滑实值函数，且F(t，0)=q(t)t人，其中g(0)笋0且g在R中0的邻域内光滑.此时M企d笋nge预备定理(Malgnmge prePa-ration theo~)断言，存在O的邻域中的光滑函数q，使对适当的光滑函数凡，，有(qF)(t，x)二户十艺灯拟‘(x)。，;而 Mathe:除法定理(Mather divisiontheorel刀)断言，对每个在R xR”中0的邻近光滑的函数G，存在R xR月中0的邻近光滑的函数q和r，使得G=、尸+r，且r(。，x)二艺):--了::(x):‘.关于可微预备定理(djfferentiable PrepaJ旧tion theo~)和可微除法定理(d迁rerentiable division theorern)的更加复杂的陈述，见【A2]一【A4]. 上述定理的一个重要应用是可微对称函数定理(d正fere力tiables”11nletric filllc石on theorem)(可微Ne叭on定理(differenhable Newton theol艺m))、它断言x，，…，x。的对称可微函数在0处的芽f可写为初等对称函数(elementa」ys扣刀刀etri。几加ction)。，二x、+…+x。，…，。。二x:二x。的可微函数的芽(!A7」，【A8」). 上述预备定理和除法定理也有P进推广.设k是完全非Aicllimedes赋范域(见域上的范数(normona五e】d))，T。(k)=k(z，，…，z。>是满足下述条件的幂级数艺a二:“(:二(，、，…，，。)，，，〔N口{o}，:’二片’…:二·)构成的代数:当}引一，二(}川二::十…+“。)时，有!a:}~0.T。(k)上的范数由}艺。二:’}=~，Ja二J定义.设子环A。(k)由满足}fll簇1的所有f任T。(k)组成，而m。(k)是满足}fll<1的所有f‘A。(k)构成的理想.设于，(k)是剩余环A。(k)/111。(k)，而f，.厂是商映射.于是有T。(k)二峨:，，…，:。〕，其中k是k的剩余域.满足}fl}=1的元素f任T。(k)称为对:。为d次正则的(re-g山arofd以笋沈d)，如果了具有形式j二又川+艺方;。.:二，其中。，。花[z;，二，:。_11，且。笋‘6又.注意T。_，(k)【:。」=k

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。