补充资料：复叠空间

    　　代数拓扑中的一个重要概念，又称覆盖空间。设p:塣→X是连续映射，如果在X中，每一点x都有开邻域U,使得p^-1(U)是塣中一组互不相交开集｛U_α｝的并集,且p 限制在每个U_α上都是从U_α到U 的同胚,则称p 是复叠映射,塣是X 的一个复叠空间。
　　
　　例如，由规定的直线到圆周的映射 p:E¹→s¹是复叠映射。设,取正数,作z₀的开邻域,则p^_1(U)是一组不相交开区间｛(n+t₀-ε,n+t₀+ε)｝的并集,且p:(n+t₀-ε,n+t₀+ε)→U是同胚。又如，当将n维球面Sⁿ的每对对径点粘合时，商空间是实射影空间Pⁿ,粘合映射p:Sⁿ→Pⁿ也是复叠映射。
　　
　　复叠映射的提升性质 　复叠映射是一个纤维映射，即它对任何空间都有同伦提升性质（见同伦论）。此外，它还有更多的提升性质：
　　
　　映射提升定理 设Y连通、局部道路连通，y₀∈Y，又设??:Y→X 是连续映射，x₀＝??(y₀)，取定慜₀∈p^_1(x₀),则?? 有提升 愝: Y→塣 使 愝(y₀)= 慜₀ 的充分必要条件是??。
　　
　　映射提升惟一性定理 　设Y连通,??:Y→X是连续映射，??的两个提升愝,愝┡:Y→塣如果对某点y∈Y有愝(y)= 愝┡(y)，那么愝=愝┡。
　　
　　用这两个定理不难推出，当n>1时,复叠映射 p所诱导的同态p:π_n(塣)→π_n(X)是同构，而p:π₁(塣)→π₁(X)是单同态。
　　
　　泛复叠空间 　当P(π₁(塣))是π₁(X)的正规子群时,称塣是X的正则复叠空间；如果塣是单连通的,则称塣是X的泛复叠空间，它是最常用的复叠空间。
　　
　　当一个拓扑空间X连通,局部道路连通与半局部单连通时，它一定存在泛复叠空间。
　　
　　复叠变换群 　是复叠空间塣 的自同胚群的一个子群，它由全体满足p。φ =p的自同胚φ（称为复叠变换）组成。
　　
　　如果塣是泛复叠空间，并且X道路连通,则塣上的复叠变换群同构于π₁(X),利用这个事实可计算某些空间的基?救骸＠?E¹是S¹的泛复叠空间,E¹上的复叠变换就是移动距离是整数的平移，从而复叠变换群≌Z,这样就得到。又如n≥2时，Sⁿ是Pⁿ的泛复叠空间，复叠变换只有两个:恒同映射与对径映射,于是。
　　
　　除了可用来计算基本群外，复叠空间在不动点理论的研究中是一种有效工具，并且在代数拓扑各个领域和几何拓扑中还有广泛的应用。
　　
　　

参考书目
　　　M.A.阿姆斯特朗著，孙以丰译：《基础拓扑学》，北京大学出版社，北京，1983。(M.A.Armstrong,basic TopoЛogy,McGraw-Hill,London,1979.)
　　

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