补充资料：Picard概形

Picard概形
Piciird sdienie

乃eard概形「乃card刘l即le;取心pa exeMa} 光滑代数簇x的Reard簇(Pieard variety)书(X)的概念在概形理论框架内的自然推广.为了对任意的S概形X定义Pieard概形，先要考虑概形S上的概形的范畴Seh/S里的相对Pieard函子(relativeplcard fUnctor)pic:/、、这个函子在s概形s’上的值是一个群 万‘，(s‘，R妾，，;。.r、(G阴、·))，这里/‘:xX、S‘~S‘是基变换态射，R二，，。f·(G，、、，)是在严格平坦拟紧态射的Grothend贻ck拓扑Sfl，;里与预层 T一H‘(T介、‘，G。)二H‘(T。、，G，，:)相关联的层，G。，表示标准乘法群层.如果Pjcard函子Pic、/、是在Sch/S上一可表示的，则表示它的S概形被称为S概形X的相对Pieard概形(re]a twe Pie-ard SCheme)·记为Pjc、、如果X是某个域k上的代数概形，人有一个有理人点、则对任意k概形S’有(汇3】): Pic*，*(S‘)二Pje(Xx*S‘)/Pje(S’).特别地，Pic、/*(k)二Pic(X)可被等同于氏、*的k有理点的群Rc、，*(k)(如果这个群存在的话). 如果.f:X~S是具有几何整纤维的射影态射，则概形丝、，、存在而且是局部有限可表示的可分群S概形·如果S二S衅(k)，则‘巫刀*的单位连通分支Pic签，*是一个代数k概形，而且对应的约化k概形廷远鉴，‘)rod正是Picard簇平。(X)([41)概形丝乡、*的局部环里的幂零元给出了Picard概形的许多附加的信息，而且能解释在特征数p>o的域上的代数几何里的各种“病态”，另一方面，在特征数0的域上概形丝灸，*总是约化的([6]).当F是光滑代数曲面且H’(F，‘，r)=o时已经知道亚;*是一种约化概形([5]). 对任何有f.(广、)=汽，的真平坦态射f:X一S(当基S为NOether时，它是有限可表示的)，函子Pic、，、对于任何基变换态射f’二X’=xx:s‘~s是5上代数空间(11〕).特别地，当基域S是局部Artin环的谱时，函子丝、/、是可表示的·澡聪黑沪少哭纂霭雾蒸、J藻孙:引。.、‘山。协rl月刀、、甲

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