补充资料：构造度量空间

构造度量空间
constructive metric space

　　用于构造数学中的度量空间概念递归度量空间有’j其相近的意思 {叭，P}称为构造度量空间，其中罗是构造对象集合(通常为某字姆表土的字)，户是将任意期的儿素对映射到构造实数(见构造分析(constructive analy-515))的算法，如架对任意XY、Z‘绷，有卜列性质二日()(X，丫)二伙2)l)(X，y)簇l)(X，Z)+户()一Z)(这里及下面的算法将是指精确意义下的算法).集合洲和算法p分别称为构造度量空间的乎摹等(以rri“r)和度量算法(metric algorithm)，叨的元素称为这个构造度量空间的点(Po，n日.公理1)2)蕴含了户‘万、Y))0一目l)(xY)=川y，X).在构造度量空间{明，。}中两点X，y‘明称为想回的((jq山valen‘)(或否ffJ的〔d istinct))，如抹J矛，fX.丫)=0(或户(X.Y)笋()) 构造度量空间的例子. 幻自然数空间月.月的载体足自然数集(自然数看成是形为001()l 1.‘，的字)，而度量算法户为洲m.n)一{川一川类似地，可以定义有理数空间R和构造实数空间药 b)”维Eu(:lid空间E。.瓦的载体为形如、一·、。的字集，其中、(l书‘簇。)是构造实数，度量算法户的构造使得、一、.…、。、一、。，二斌军下 c)单位区间l一致连续构造函数空lbJ〔’C的载休是形为:了一。，:，:的字集，其中厂是在单位区间一L处处有定义的构造函数‘下是一算法，它将每个自然数映身寸到一个自然数使得 v”·戈，一‘:以0轰，;·二:簇城!、，一、:}<2丫‘”’)。 三卜/伙l)一刀xZ)}<2”)(。吸。表小算法讥的描述(编码)).度量算法尸的构造使得 。(〔/、，’‘:、)·‘/:“‘:2))一【)瞥处，{j、(x)一儿(义)卜空间C的载体的复杂形式是度量的能行计算所必须的. d)一般递归函数的Baire空间B.B的载体是-般递归函数的G浏e1数集，度量算法p的构造使得如果，。和，，是编码为月和m的一般递归函数，则尸(n川)=o，如果对任意，，价。(‘)=价，(i);且p(。，阴)二2人，如果对于2<火.甲。(，)=价州(，)，且价:(k)=势.(k). 设M二{纽，川是构造度量空间.算法方称为材的点序列(sequen、of points)，红”果对每个。，八(n卜M.序列口称为，{一则的‘regular)如果对每个m)。有户(方(。)，lj(炸))一:2”lI{则序列刀收敛于构造度量空间M的点X，如果对任意n，户(工，刀(n))毛2”.构造度量空间M称为完全的(①mPI以e)，如果存在一个算法使得对每个(M的点的)正则序列刀，可找到其收敛于M的点.M称为可分的(沁p二able)，如果存在算法仪石使得，是M一L的点序列，日对任意x‘M和。，j『n)是一自然数，其中l)(武叔刃‘n))，X)<2一”.所有例a)一d)的空间H，R.E】，E。，‘一，B是可分的，空间H，EI，￡。，C也是完全的.非递归可枚举集生成H的子空间是非可分离的构造度量空间.在构造度量空间中可以陈述度量空间经典理论的许多结果，特别地，Haus-dorff定理的构造变式(construCtive varlant ofl」al巧d-(，r ff theorem)是很重要的.对每个构造度量空间都能构造其完全化构造度量空间. 使一个构造度量空间完全化的过程是构造数学中引人新结构的有力方法.构造实数就是这样弓卜人的.可测集和可测函数，LebesgUe可积函数等经典概念也可类似地定义.构造度量空间理论的基本日的之是研究关于某些可计算度量为良定义的算法映射. 设明，二{明:，p，}，叭2二{绷2夕2}是两构造度量空间·M、一MZ型的纂捧纂矛(al即ri‘hmico详ra‘or)为满足下面条件的算法杯a)如果X任叭，一且叭幻有定义，则沙(X)〔绷2;b)如果X，Y为M，的等价点(即，pl(X，均=0)，且价(X)有定义，则叭Y)有定义，且归幻，喇Y)为M:的等价点.药~E，，E。一El型的算法算子分别是一元或n元构造函数;B一，H型的算法算户习惯_L称为能行泛函(effective funCtionals)(或能行算子(e体ective operators)). 算法算子理论中的基本结果之一是Tseitln定理(T seitin theorem)，该定理断言完全的、可分离的构造度量空间M，中，对任意M一材2型的算法算子价及每个n，可以构造包含必定义域的球的算法(递归)可枚举集，使得在这个集合的任意球上的振动不超过2一”，这定理蕴含了关于能行泛函到部分递归泛函的[lf扩展性的著名结果.上面结果的另一个重要推论就是算法算子连续性定理如果Ml是完全的、可分离的构造度量空间，M:为任意构造度量空间，则对任意M一，从型的算法算子沙，可以构造一个算法汉使得对任意沙定义域中的X，Y和任意”，州X.陀)是一个自然数，其中户，(X，Y)<2七·‘龙·’蕴含了pZ(甲(幻，洲y))< 2汽 用与构造度量空间相同的一般方法，可以研究构造赋范空间和伟lbert空间的理论.【补注】上文只涉及了狭窄的苏联学派意义下的构造分析(亦见构造数学(constructive mat址mati。)).IAI]和IAZ]提供了不同的处理方法.递归度量空间概念，见[A31.构造度t空间【。理.。”比作metrics钾咫;劝.。甲”“.卜毗M盯声，.口.限明阵比lp叭‘I叻}
　　

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