补充资料：浸入流形的几何学

浸入流形的几何学
geometry of anmersed manifolds

漫入流形的几何学【梦”.州打of白佃洲，团n即亩抽山;uo-rpy二e.‘x M.oroo6pa3浦reoMeT】..] 研究E加ha空间或R访tn出m空间中子流形的外蕴几何学及研究外蕴和内落几何学(interior孚翔力etry)之间关系的一种理论.浸人流形的几何学是E波lid空间R3中曲面的经典微分几何学的一种推广.浸人流形的内蕴及外蕴几何学通常局部地分别用第一、第二基本形式来描述.对。维流形材爪在流形N”中的浸入，存在着合同的概念(见流形的漫入(万nnr巧10nofam妞而kl)).在浸人流形几何学中人们考察那些对合同浸人是恒同的性质，即由浸人f所定义的曲面尸的性质.因而，从几柯学的观点来看，浸人及曲面是没有区别的.浸人f诱导了切丛(扭理阳tb山姻阮)之间的映射df:了，江，~TN”· 子流形F的第一二次(基本)形式(阮t qua枷tie(加区场吐助lal)扔nn)是在TM.上由 夕，(X，Y)二瓦、。)(X，Y)所定义的，这里p任M用，X，Y〔了予才m及互是N”上的R袖m出m度量.在这里及下文中，向量XeTM爪与其象df(X)在记号上并不加以区分.二次型g定义了在M’上R铂侧劝n空间M罗的结构;M了的性质构成了子流形F的内在几何学的内容.如果{xk}，{犷}(介=l，一，m，:“1，…，n)为M从和尸中的局部坐标，则浸入f用参数方程尹=尹(xl，…，x爪)给出.在局部坐标下， g，(X，Y)=g。(夕)X‘矛，这里{了}和{砂}是向量X和Y的分量， _日无己几 91，=g，二飞于丫龙于十， ，u，口声ax‘刁xJ{瓦对是R止浏切n空间丫的度量张量互的分量. 诸如曲线长度，区域的体积，内蕴度量的玫功-Ci访ta联络vx，曲率变换R(X，y)z等概念是与F的内蕴几何学相关连的.在这里所适用的计算公式能在R如In..几何学(死巴圈m血n脚脱卿)的条目中查到.这里灵一凡是法丛，(M)上联络D的曲率张量.对等距浸人而言，Ca璐，Coda劝一Mainaldi和Ri侧方程是仅有的一般方程.可合理地期望当R(·，·，·，·)中有三个场是法向时能得出一些有趣的结果.确实地，(R(古，们约，对在点p处的浸人流形没有什么作用(除了尸点本身). 如外围流形N有常曲率k，则反(X，Y)z=此(x一y>，且反(x，Y)z切于M.Gauss，Ri山和C浏正理云一Malnaldi方程化为 (R(X，Y)Z，评>二(4) =k(一)++一， + +([A;，A，]X，Y>，(5)这里!人，A，l=人A，一A，人，且 瓜H(Y，Z)一△YH(X，Z)=0.(6)这些方程在更一般的情形下也是有意义的.事实上，令E是过M上的一个Riorr以fm向量丛，即存在E上的一个(丛)R~度量<·，·>:，且设存在一个与度量相适合的R~联络D二了孔f xr(E)~E，这里r(E)表示E的光滑截面的空间.这意味着 VX

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