补充资料：余代数

余代数
co - algebra

余代数}伪一alge腼;姗几代6钾} 交换环介l模通，巨具有两卜同态映射训通，A⑧*A，:二盛‘k，使得图 月生月⑧A 价土扒⑧甲 A⑧A*月⑧A⑧河 姆髯{和 A⑧A二才兰A⑧月 。茵卜\{}厂⑧“ \’二Z‘ \月尸可交换.换句话说，余代数是环人_L结合代数概念(在范畴理论意义下)的对偶概念. 余代数在许多拓扑应用方面有重要意义.例如，拓扑空间的单复形是一个余代数.和余代数紧密联系的是Hopf代数，它同时具有代数和余代数结构.见H叩f代数(H叩f al罗bra).【补注】给定段上一个余代数A，令A’=Hom(A，k)是从A到k的所有人模同态组成的模.对于大g‘A’，定义乘积为:A一k，‘臼由公式为(a)=任⑧妇帅(aj)确定，这里把k⑧、k与k等同起来.对任意两个k模M，N，定义户M’⑧N*~(M⑧N)’，它由公式尸汀④g)如⑧司习(m)g(的确定，那么A‘上的乘积可视为合成注‘⑧A’一(A⑧A)’二A’元素。:A一，k是使得A’成为具有单位的结合代数(即对偶代数(d ualal罗bro.”的这一乘积的单位元.一般地，P未必是同构映射，并且不存在自然k模同态(M⑧N)’一M’⑧N‘.这样，即使当k为域时，也不存在一个自然构造方法，能把一个k上代数和一个余代数联系起来，但是，当k为域时，存在函子(’l~C‘的伴随函子(tLdj。-int funCtor)巾一才，’已把一个余代数和它的对偶代数联系起来，即有了恤日c’)性乙~认(A。，(’)，A。了仇，c自嚼认，这里了认和式一恤分别表小丸代数范畴与k余代数范畴([A2]，亦见H叩f于切教)但是如果B是k上有限秩的自由模则尸:B*⑧了一‘B⑧8)‘是同构映射，且可以定义对偶余代数(dual①一algebra). 设S是集合{s()，、l、}，设介S二O人5.定义 叭s。)一艺、⑧、。。(sr.)一1. 汗点了则ks是个余代数. 设(A，甲)，(B，归是两个余代数，则余代数态射(morPhism ofco一al罗bras)是k模射立月一月，使得功‘仪二伍幻甲和￡。戊二气.余代数A的余理想(。-ideal)是一个人r模l，使得甲(F)仁F⑧月+一4⑧V和《门二0.余代数(C，劝上余模(co一module)M是一个k模，具有k模射必M一M⑧C，使得(沙。1)。沙二(1因劝“必，(1⑧。)。价是标准同构M~MOk.这里当然有余模的同态等明显概念.

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