1) number theory cryptography
数论密码
1.
In the recent 30 years, the number theory cryptography has developed too much in the modern cryptography, the information encoding theory and computer science, especially in number theory cryptography.
近三十年来，数论还被广泛地应用于信息编码理论，计算机科学，信号的数字处理等学科中，特别是数论密码的提出给数论的研究增加了新内容。
4) cryptographic functions
密码函数
1.
Research on linear structure of several cryptographic functions;
几类密码函数的线性结构研究
5) cryptarithm
密码数学
1.
This paper introduces some addition and multiplication alphametics(or cryptarithm)problems and some achievements generated from the combination of numbers 1,2,3,…,9 that form the result 100.
介绍几种加性和乘性字母算术(或密码数学)问题及生成结果为100的表达式的组合问题的一些成果,并提出3个问题:如何代入数字使工业化+农业化+科学化=现代数化,立党为公+执政为民=为人民服务,更快×更高×更强=奥林匹克精神成立。
2.
This paper introduces some addition and multiplication alphametics(or cryptarithm) problems and some achievements generated from the combination of numbers 1,2,3,…,9 that form the result 100.
介绍几种加性和乘性字母算术(或密码数学)问题及生成结果为100的表达式的组合问题的一些成果, 并提出3个问题：如何代入数字使工业化+农业化+科学化=现代数化,立党为公+执政为民=为人民服务, 更快×更高×更强=奥林匹克精神成立。
补充资料：超越数论
以超越数为研究对象的数论分支之一。全体复数可分为两大类：代数数和超越数。如一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数。不是代数数的复数，叫做超越数。J.刘维尔开创了对超越数的研究，他发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数,例如对g=2,3,...都是超越数。早在1844年以前的一个世纪里，对无理数的研究已成为一个注意焦点。1744年,L.欧拉证明了自然对数的底e是无理数。1761年，J.H.朗伯证明了圆周率π是无理数。
1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数,从而使超越数论进入一个新阶段。1882年,F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了π 是超越数，从而解决了古希腊的"化圆为方"问题。
19世纪超越数论的最高成就,是林德曼-外尔施特拉斯定理:如果α1,α2,...,αn是两两不同的代数数，β1,β2，...,βn是非零代数数，则
(1)由此可以导出，如果α1，α2,...,αn在无理数域Q上线性无关，则代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如α是非零代数数,则sinα，cosα，tanα都是超越数；如α是不等于0和1的代数数，则自然对数lnα是超越数。
1900年,D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果α是不等于0和1的代数数，β是无理代数数，那么αβ是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若α是不等于零和1的代数数,β是二次复代数数，则αβ是超越数,特别地,是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到β是二次实代数数的情形,特别地,是超越数。1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答,此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理数，则常用对数lgα不是有理数，便是超越数；更一般地,对非零代数数α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上线性无关,则
1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形,证明了下述重要结果:若α1,α2,...,αn是非零代数数，且lnα1,...,lnαn在Q上线性无关，则1,lnα1,...,lnαn在所有代数数所成的域坴上线性无关。其推论有:①若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。②若α1,α2,...,αn,β0,β1,...,βn是非零代数数,则是超越数。③若 α1,α2,...,αn是不为0和1的代数数，β1,β2,...,βn是代数数,且1，β1,β2,...，βn在Q上线性无关，则是超越数。A.贝克的理论还有定量形式，对数论许多分支有着重要应用。例如，第一次对几类很广的不定方程给出解的绝对值的有效上界，以及用以定出所有类数为 1和 2的虚二次域。前者是对于希尔伯特第10问题的肯定方面的实质性的贡献。1970年A.贝克获费尔兹奖。
代数数的有理逼近是超越数论的重要课题（见丢番图逼近）。由林德曼－外尔施特拉斯定理发展而成的西格尔-希德洛夫斯基理论,对于证明一类适合线性微分方程组的幂级数的值的代数无关性，建立了一般的方法。例如，令若λ是异于负整数和的有理数，则对于任何非零代数数α，Kλ(α)和K懁(α)代数无关。
超越数的测度理论是超越数论的又一个重要内容。1874年，G.康托尔引进了可数性的概念，而导致了"几乎所有"的实数（复数）都是超越数的结论。1965年，Β.Γ.普林茹克证明了K.马勒尔在1932年提出的猜想：对于几乎所有的实数θ、任意的正整数n 和正数ε，至多有有限多个n次整系数多项式p(x)，使得其中h是p(x)的诸系数的绝对值的最大值。
超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。许多著名问题,例如,沙鲁尔猜测：若复数ζ1,...,ζn在Q上线性无关,则由在Q上生成的域的超越次数至少为n，及其特例关于e和π的代数无关性（甚或看来似乎容易得多的e＋π的超越性），以及欧拉常数 的超越性的猜测，至今都未解决。
参考书目
华罗庚著：《数论导引》，科学出版社，北京，1957。
A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.
A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.
1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数,从而使超越数论进入一个新阶段。1882年,F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了π 是超越数，从而解决了古希腊的"化圆为方"问题。
19世纪超越数论的最高成就,是林德曼-外尔施特拉斯定理:如果α1,α2,...,αn是两两不同的代数数，β1,β2，...,βn是非零代数数，则
(1)由此可以导出，如果α1，α2,...,αn在无理数域Q上线性无关，则代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如α是非零代数数,则sinα，cosα，tanα都是超越数；如α是不等于0和1的代数数，则自然对数lnα是超越数。
1900年,D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果α是不等于0和1的代数数，β是无理代数数，那么αβ是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若α是不等于零和1的代数数,β是二次复代数数，则αβ是超越数,特别地,是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到β是二次实代数数的情形,特别地,是超越数。1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答,此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理数，则常用对数lgα不是有理数，便是超越数；更一般地,对非零代数数α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上线性无关,则
1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形,证明了下述重要结果:若α1,α2,...,αn是非零代数数，且lnα1,...,lnαn在Q上线性无关，则1,lnα1,...,lnαn在所有代数数所成的域坴上线性无关。其推论有:①若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。②若α1,α2,...,αn,β0,β1,...,βn是非零代数数,则是超越数。③若 α1,α2,...,αn是不为0和1的代数数，β1,β2,...,βn是代数数,且1，β1,β2,...，βn在Q上线性无关，则是超越数。A.贝克的理论还有定量形式，对数论许多分支有着重要应用。例如，第一次对几类很广的不定方程给出解的绝对值的有效上界，以及用以定出所有类数为 1和 2的虚二次域。前者是对于希尔伯特第10问题的肯定方面的实质性的贡献。1970年A.贝克获费尔兹奖。
代数数的有理逼近是超越数论的重要课题（见丢番图逼近）。由林德曼－外尔施特拉斯定理发展而成的西格尔-希德洛夫斯基理论,对于证明一类适合线性微分方程组的幂级数的值的代数无关性，建立了一般的方法。例如，令若λ是异于负整数和的有理数，则对于任何非零代数数α，Kλ(α)和K懁(α)代数无关。
超越数的测度理论是超越数论的又一个重要内容。1874年，G.康托尔引进了可数性的概念，而导致了"几乎所有"的实数（复数）都是超越数的结论。1965年，Β.Γ.普林茹克证明了K.马勒尔在1932年提出的猜想：对于几乎所有的实数θ、任意的正整数n 和正数ε，至多有有限多个n次整系数多项式p(x)，使得其中h是p(x)的诸系数的绝对值的最大值。
超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。许多著名问题,例如,沙鲁尔猜测：若复数ζ1,...,ζn在Q上线性无关,则由在Q上生成的域的超越次数至少为n，及其特例关于e和π的代数无关性（甚或看来似乎容易得多的e＋π的超越性），以及欧拉常数 的超越性的猜测，至今都未解决。
参考书目
华罗庚著：《数论导引》，科学出版社，北京，1957。
A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.
A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条