补充资料：Cartan子代数

Cartan子代数
Cartan subalgebra

　　Cal出口子代数{C田七口叨b目geb.;Kalyr她叫八翻n石碑l，域k上有限维Lie代数g的 g的一个等于它在g内的正规化子的幂零子代数.例如，若g是某一固定阶的全体复方阵所构成的Lie代数，则一切对角方阵所构成的子代数就是g的一个Cartan子代数.Cartan子代数也可以定义为g内一个幂零子代数t，它等于它的Fitting零分支(Fittingnull一compenent)(见Lie代数表示的权(weight ofarePresentation of a Lie al罗bra)) 助={X。。:vH:t〕nx.，。z((adH)月‘H(幻=0)}，这里ad代表g的伴随表示(见lie代数(Lieal罗-bra)). 进一步假设k的特征是零.这时，对于任意正则元x钊，g中一切被adX的幂所零化的元素的集合n(X，g)是g的一个Cartan子代数，并且g的每个Cartan子代数都具有tt(X，g)的形状，X是某一个适当的正则元.每个正则元属于且只属于一个Cartan子代数.。的所有Cartan子代数的维数相同，等于g的誉(rank).Cartan子代数在Lie代数的满同态之下的象仍是Cartan子代数.如果k是代数闭的，则g的一切Cartan子代数都是共扼的;更确切地说，它们可以被g的自同构代数群D中的算子将一个变到另一个，这里D的Lie代数是adg的换位子代数.如果q是可解的，那么不假设k是代数闭的，上述断言仍然成立. 设G或是特征为零的代数闭域k上的一个连通线性代数群，或是一个连通Lie群，而g是它的Lie代数.那么g的一个子代数t是一个Cartan子代数，当且仅当它是G的一个ca比坦子群(CartaJ飞subgrouP)的Lie代数 令g是k土1个有限维向量空间V的全体自同态所构成的Lie代数叭伊)的一个子代数，J是叮印)中包含g的最小的代数的Ue代数(Lie al罗bra，al罗braie).如果下是可的一个Cartan子代数，则下门@是g的一个Cartan子代数，井且如果t是g的一个Cartan子代数汀是91(V)中包含t的最小的代数子代数，则下是可的一个Cartan子代数且t二『自务. 令人CK是一个域扩张g的一个子代数t是Cartan子代数，当且仅当t⑧*K是g⑧*K的Cartan子代数 当q是一个半单Lie代数(这是E.Cartan所使用的名称)时，Cartan子代数起着非常重要的作用.在这种情形下，g的每个Cartan子代数t都是交换的并且由半单元素组成(见J.闭aII分解(Jordande~户万1-tion))，且价Inog型(萄lling form、在t上的限制是非奇异的‘【补注】g的一个兀素h叫做正则的(re酗盯)，如果g的自同态adh的Fitting零分支的维数最小.在以元素是正则的条件定义一个Zarlski开子集的意义下，g中儿乎所有的”元素是正则的.对于正则元h来说，adh的P’i往Ing零分支是Cartan子代数这一结果对于任意无限域上的有限维Lle代数都成立({A4]，p.59).
　　

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。