补充资料：随机函数的谱分解

随机函数的谱分解
spectral decomposition of a random function

其中F(d幻=E}Z(d幻}’是A上一个非负测度. 随机函数的最熟知的谱表示类是平稳随机过程X(t)的作为Fo此r一st记ltjes积分的表示， x(:)一丁。一dz(;)，(2) A其中Z(劝是具有不相关增量的又的随机函数而A或者是实直线(一的，田)，当时间t是连续时;或者是区间[一二，司，当t是离散时(且取整数值).这样一种谱分解的存在性由关于相关函数B(s)二E(t十:)X(t)的积分表示的一般的x皿，抑定理(或Wi，ener一x滋Htl朋定理)推出(见平稳随机过程(statio朋刁stochastic process)).这表明任何平稳随机过程可看成各种频率的且具有随机相和振幅的相互不相关的调和振动的叠加.用n维平面波取代调和振动，对定义在n维Euelid空间R”上或定义在R”的整数点的格Z”上齐性随机场，一个相似形式的谱分解也存在.在广义平稳随机过程的情形，考虑定义在有紧支集的无穷可微函数职(t)的空间D上且对所有实数a满足条件 EX(V。职)=EX(职)， EX(V。中，)X(V。职2)=EX(势，)X(职2)的一个线性泛函X(沪)，上式中V。职(t)二毋(t+a).泛函X(价)可写成形式 x(，)一J币(*)、z(、)，(3)其中 币(*)一丁。!之!，(:)J。是毋(t)的Fourier变换.公式(3)从以下这个事实推出，即 B(势、，价2)二EX(势:)X(切2)可写成形式 。(，:，，2)一丁币，(、i不不下d;(、)，其中函数F(又)=E}Z(劝一Z(一的)}2是一个单调非减谱分布函数，使得对某个非负整数m 丁(l+*‘)一dF(*)<二(见t31).如果取函数甲(约的空间是整解析函数的某个特殊空间，则可得到具有指数增长的谱函数F(劝的广义平稳随机过程X(甲)(见【4]). 特殊形式的谱分解也对群G上和齐性空间S上的齐性随机场存在.这是Kaxhi川en的谱分解定理连同关于集合G和S上正定函数(或核，它们是两个变量的函数)的一般形式的某些熟知结果的推论.特别地，对任意局部紧Abel群G上的一个齐性场X(妇，X(g)的谱表示有形式(l)，其中函数价(t;又)的作用被G的特征标x(衬(g)所取代，且积分区域A是对应的特征标群G(例如，见【51，【6』).在相当一般条件下对非交换拓扑群的齐性场，更复杂形式的谱表示也存在(见【5]).最后，在齐性空间S={、}上齐性场的情形，一个场X(s)的谱分解包含空间S上的球面函数(球面调和函数)，而相关函数B(st，52)“Ex(s1)双不万的对应谱表示包含球带函数(见[5]，匹l).特别地，三维空间R’中球面52上一个一般齐性场X(口，司有一个形式为 山了 X(o，，)一及.圣，Y，，·(“，，)z，.。(4)的谱表示，其中 Y，，。二e一‘爪甲p尹(coso)是普通的球面调和函数(sphericai barTr幻血s)而随机变量Z‘，。满足EZ:二2，，。一石:z占。。j’，，其中占.2是K-ronecker符号石、对应于公式(4)有一个形如 EX(8，，毋:)X(口2，中2)“B(8 .2)的相关函数的表示式，其中。、:是点(口、，甲，)和(aZ，毋2)之间的角距离，且 __、杀21+1，_ B(8)=乞=下二二_f，P，(eos口)， 一、“产，场ZJ‘一‘、一甘产’其中尸，是Leg耐re多项式(Le罗ldre加加幻而als).类似地，如果X(;，甲)(其中〔r，职)是极坐标)是平面R’中的齐性和迷向场(所以EX(r，，毋飞)X(rZ，毋2)=B(r，之)，这里r，:是点(r、，毋、)和(:2，甲2)之间的Euclid距离)，则X(r，中)的谱表示可写成形式 x(一):负。一)，*(、r)、z*(*)，(5)其中J*(x)是k阶Bessd函数(E七ssel丘川ctio留).这里Z*(劝是具有不相关增量的随机函数，使得 EZ*(△:)万兀万万=占*，F(△】自△2)，其中 z*(△)一丁注z*(、) △且F(△)是半轴【O，的)上的一个非负测度.对应于谱表示(5)，有以下的相关函数B(:)的表示式 。(:)一了J。(、:)、;(、). 0齐次场的谱表示的进一步的例子见【5]一【8]. 随机函数的谱表示不只是对平稳随机过程和齐性场存在.例如，如果X(0是在区间“(t续b上具有对两个自变量连续的相关函数 B(t，s)二EX(r)X(:)的任意一个随机过程，则由积分方程理论中的M七rcer定理(Mercer theorer口)和Karh山℃n的谱分解定理，X(t)有以下形式的谱表示 v，‘、_于毋*(t)Z* X‘亡，一*杏;专刹一，‘6，其中中*(t)和又*，k=1，2，二，是函数空间上具有核B(t，s)的积分算子的本征函数和本征值且〔Z*z，=占*，.定义在有限区间上的一个随机过程X(t)的谱表示(6)是随机向量分解成主分量的分解式的连续类似，它常用于多元统计分析中.它独立地由很多科学家得到(例如，见【5〕，【8」)且最经常地被称为K五rhunen一l成ve展开式(凡江hullen一Lo七veexpansion).在许多应用中，形式(6)的谱表示被广泛地使用，特别用在自动控制理论中，其中(6)和某些有关表示常称为随机过程的典型表示(cano垃calre-拼esentations of stochas石e Process)(见19])，以及用在气象学和地球物理学中，其中常用“经验正交函数法”(刀rthod of elllPlrical orthogo蒯n川ctions)这名词，因为在实践中本征函数中*(t)必须用经验数据近似地确定(见汇8)，〔10」). 2)一个随机函数X(t)，踌T，的谱表示也可以指形式(1)的按某种标准的〔充分简单的)函数职(仁对的完全系的一般表示(不要求Z(dt)是具有不相关值的随机测度).在具有连续时间的随机过程X(t)按函数职(t;对二。“孟的分解情形，这是最普通的，所以(l)化成(2).一般地，由(2)推出B(t，s)“〔x(t)了币万可写成形式 。(:，、)一J丁。·‘*卜一):(、;、、。)，(7)其中F(d又xd子‘)是(兄，拼)平面上由关系式 F(△，，AZ)=EZ(A，)Z(△2)定义的复值测度.反之，容易证明B(t，s)可以写成(7)式这一事实蕴涵存在一个谱表示(2)(例如，见【2」)容许有一个谱表示(2)且其中Z(动不必有不相关增量的随机过程称为可调和化随机过程(harmo川z-able stochas康processes)，在这种情形，复测度F(d又xd召)称为X(r)的谱测度(speetral measure)，且(又，群)平面上没有谱测度为零的邻域的点的集合称为过程X(t)的谱(spect们刀n of the Process).一个平稳过程X(t)的谱是集中在直线又=召上.在相当一般的条件下，周期相关的(碑nodically correlated)(或周期莎于拳的(p困odjcally~一sta石~y))随机过程X(t)(它有性质 EX(t+mT)=EX(t)， EX(t+。T)x(s+。T)=Ex(t)双可对某个T)o和任何整数水)也是可调和化的，这样一些过程的谱是集中在直线又=召+2二k/T，k=0，土1，士2，…，的集合上(见「8]或fll)).【补注】不必平稳的随机函数的谱分解在【AI]中给出.随机函数的谱分解【罕ct耐山c.旧posi6阅of a ra仪bm加叫川田;eueKTPa刀I.H0e Pa3月眯e艘c月y，a盛粉益中林·K从一“]，随机函数的谱表示(speetral rePresentation ofara】侧的ml访letion) l)一个随机函数(m川。m function)(特别是一个随机过程(stochastic process)用关于某个特殊函数系的级数或积分的表示，使得这展开式中的系数是两两不相关的随机变量.具有零均值(即使得〔x(t)二0)的复值随机函数X(t)(所T)的很广一类的谱表示可写成形式 x(才)一丁，(才;，)z(、，)，(l) A其中A是具有给定的“可测子集”系的某个集合(即是可测空间);甲(t;劝，汗T，又eA，是所T的一个复值函数系，依赖于参数又任八;Z(d劝是A上一个正交的随机测度(具有不相关的值，所以对任何两个不相交可测子集△，和AZ，Ez(△1)双西刀=0);且右边的积分或者可以定义为对应积分C姗hy和序列的均方极限(fl」)，或者更一般地定义为“对于测度Z(d又)的Lebesgue积分”(例如，见1 21).按照一般的KarhUne力谱表示定理(K五rhu毗n sp工tral repre-sentation脉~)，对一个随机函数X(t)谱表示(l)存在，当且仅当对应的相关函数B(t，s)“Ex(t)硕居万可写成形式 ，(。，:)一丁。(‘;*)面万反了;(‘*)， A

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