2) Diophantine approximation
丢番图逼近
1.
By Gel’found-Baker method and the theory of Diophantine approximation,this paper discusses all the positive integer solutions of the Pell equations x~2-7y~2=2,32y~2-z~2=23,namely(x,y,z)=3,1,3),(717,271,1533).
利用Gel'found-Baker方法以及丢番图逼近的有关理论,证明了Pell方程组x～2-7y～2=2,32y～2-z～2=23仅有正整数解(x,y,z)=(3,1,3),(717,271,1533)。
2.
In this paper,a simple theorem and a number of important corollaries on Diophantine approximation of an irrational number are obtained.
得到关于无理数的丢番图逼近的一个定理和一系列重要推论，指出并订正了文章“Ｄｉｏｎｈａｎｔｉｎｅ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍｂｅｒ”（Ｊ· ＮｕｍｂｅｒＴｈｅｏｒｙ，３５（１９９０），５５～５７）中的一个错误。
3.
Jingcheng Tong gives a lemma and a theorem of Diophantine approximation of an irrational number in [1].
Jingcheng Tong在[1]中给出了无理数的丢番图逼近的一个引理和一个定理。
3) simultaneous Diophantine approximation
联立丢番图逼近
4) homogeneous diophantine equation
齐次丢番图方程
5) higher degree diophantine equation
高次丢番图方程
6) cubic diophantine equation
三次丢番图方程
补充资料：丢番图逼近
数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜-2。当α是有理数时，上式不成立
。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里 ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式
1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜-μ只有有穷多个解p/q。根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。以后一些数学家不断改进指数μ 的值，直到得出μ 与 d无关的结果。1909年，A.图埃得到μ >1+d/2。1921年，C.L.西格尔得到。1947年至1948年间,F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。1955年,K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数,其次数 d≥2,那么对于任意的δ>0，不等式只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。
对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1,...,αn是n个实数,Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1,...,pn满足不等式组
进而，如果α1,...,αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q,...,pn/q)，适合不等式组
关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1,...,αn是实代数数，并且1,α1,...,αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1,...,αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1,...,qn适合
。由此可知，联立不等式
只有有限多组解(p1/q,...,pn/q)，以及不等式
只有有限多组整数解p,q1,...,qn。
用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。
自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。
参考书目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜
。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里 ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜
丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式
1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜
对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1,...,αn是n个实数,Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1,...,pn满足不等式组
进而，如果α1,...,αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q,...,pn/q)，适合不等式组
关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1,...,αn是实代数数，并且1,α1,...,αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1,...,αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1,...,qn适合
。由此可知，联立不等式
只有有限多组解(p1/q,...,pn/q)，以及不等式
只有有限多组整数解p,q1,...,qn。
用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。
自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。
参考书目
J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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