1) the ZFC axiomatic set theory
ZFC公理集合论系统
2) Axiom system of set theory
集合公理系统
3) axiomatic set theory
公理集合论
1.
It has proved that well sets completely satisfy all axioms of ZFC -(the classical system of axiomatic set theory ZFC without the regular axiom).
在中介公理集合论系统（ＭＳ）中重新定义了良集的概念，讨论了它的性质。
2.
Secondly, by using of the medium axiomatic set theory (MS), a natural number system in MS is constructed, and it is proved that five axioms of Peano′s natural number system are theorems is MS.
其次，利用中介公理集合论ＭＳ的相关理论，构造了ＭＳ中的自然数系统，证明了Ｐｅａｎｏ５条公理为ＭＳ中的定理。
4) Axiom set theory
公理集合论
1.
It is well known that first-order logic and axiom set theory are two part of the whole mathematical logic.
众所周知,一阶逻辑与公理集合论是数理逻辑的两个组成部分,其中,一阶逻辑是数理逻辑的基础部分。
5) axiomatic medium set theory
中介公理集合论
1.
Defines the concept of well sets in MS(axiomatic medium set theory) and discusses its characters.
在中介公理集合论系统（ＭＳ）中重新定义了良集的概念，讨论了它的性质。
6) Modern axiomatic set theory
近代公理集合论
补充资料：集合论公理系统
公理集合论的基础部分。如同平面几何中的点、线、面一样，集合是一个不加定义的原始概念。集合和属于关系∈是通过公理刻画的。例如，"任一集合由它的元素所惟一决定"是通过外延公理刻画的。"存在一无穷集合"是无穷公理所断定的。集合的运算（如无序对、并、幂等）也是通过公理加以刻画和保证的。虽然每一公理都不是借助于直观(因为直观不严谨可能发生错误)而是借助于严谨的形式语言加以刻画的，然而公理的背景都是很深刻和很直观的，它们来源于G.（F.P.）康托尔的朴素集合论，是从他的理论中抽象出来的基本原则。因此，每一公理都是刻画集合或类的某一基本性质。把某些公理搜集在一起组成刻画集合或类的特征的若干基本原则，就称为集合论的一个公理系统。具体地说，在康托尔集合论中包含着深刻的、丰富的、新型的推理方法。悖论的发现促使人们借助于公理化方法，以期排除集合论中的已知悖论并系统地整理G.康托尔的理论和方法。1908年出现两个著名的公理系统，这就是E.F.F.策梅洛的系统和B.A.W.罗素的类型论。之后，集合论公理系统的研究成了一个重要的方向和领域。除了对上述两个系统的扩充、加工和修改之外，还出现了一些新的系统,其中最著名的是J.冯·诺伊曼1925年提出的系统,后经P.贝尔奈斯、K.哥德尔修改形成的GB系统，人们通常把这个系统记作NBG或GB。
除了上述三个最著名的系统外，还有奎因系统，王浩系统，阿克曼系统，莫利和斯科特系统也都是值得重视的。近年来,人们也相当重视非直谓类的公理系统,其中有本质上是贝尔奈斯1961年给出的BC系统。
策梅洛-弗伦克尔公理系统 在1908年策梅洛系统的基础上，经A.T.斯科朗、A.A.弗伦克尔的改进与补充而建立的一个公理系统，是康托尔集合论方法的形式化处理。它易于理解，是影响最广的一个系统，人们通常把上述系统叫做ZF系统，并简记为ZF。它的原始概念是集合和属于关系，它们不是由定义给出的，而是借助于一阶语言（见一阶逻辑）由公理直接予以刻画的。这一系统的公理是下述10条。
① 外延公理 对于任意的两个集合x与y，如果x的任一元都是y的元，反之,y的任一元都是x的元,则x＝y。换句话说,对于任意两个集合,它们的元素相同时，它们为同一个集合,亦即。
② 空集合存在公理 存在一个没有任何元素的集合。也就是说,空集合是存在的,空集合通常记作。即彐x凬y(y唘x)。
③ 无序对集合存在公理 对于任意的集合x，y,都存在一集合z，它的元素恰好是x 与y ，即。此公理中的集合z，记作{x,y},称为x与y的无序对集合。当x=y时,它就是{x},此时称｛x｝为x的单元集合。
④ 并集合公理 对于任意的集合x，都存在一集合y，y的元素恰好是x的所有元素的元素，即。此公理中定义的集合y 称为x的并集合，记作∪x。由此公理,对于任意的集合S1,S2，它们的并S1∪S2就定义为集合∪{S1,S2}。
⑤ 幂集合公理 对于任意的集合x,都有一个集合y，y的元素恰好是x的子集合。即，其中。此公理中定义的集合 y称为x的幂集合，记作P(x)。
⑥ 无穷公理 存在着一个集合,它的元素恰好是所有自然数，此集合记作ω。即。
⑦ 分离公理模式 对任意的集合论公式A(z)和任意的集合x，都存在一集合y，y 的元素恰好是由满足公式A(z)且属于x的那些元素组成。即。
⑧ 替换公理模式 对于任意的公式A(x,y),如果对任意的集合x，都有惟一的集合y，使得A(x,y)成立，那么对任意的集合S1，有一集合S2，使得S2 ={u｜t∈S1且A(t,u)}。也就是说,若A(x,y)具有一对一的性质，这时，对于任一集合S1,由S1中每一元素经A(x,y)对应的值组成一集合，即
⑨ 正则公理（基础公理） 对于任一非空集合S,都有一集合y，使得y∈S且y与S不交，即。
⑩ 选择公理 公理⑦与公理⑧都是对任意公式而言，一公式对应一条公理，因为有可数无穷个公式，所以有可数无穷多条公理。但是，这样的公式都有统一的格式，因此，称它们为公理模式。（见选择公理）
在策梅洛1908年的论文中，分离公理中的A(z)仅指集合的性质。然而，性质仍然是一个很含混的概念，弗伦克尔把性质形式化为一阶语言中的公式，从而使这一概念清晰和严谨了。在文献中，人们常把公理①～⑦与⑨～⑩一起记为Z（即策梅洛系统）,把公理①～⑩一起记为ZF。有时为了突出选择公理，人们也把公理①～⑨记为ZF，而把公理①～⑩记为ZFC。
ZF的独立性问题 ZF不是独立的，例如，由公理①～⑥与⑧～⑨可以推出公理⑦。但由于公理⑦是策梅洛首先提出的，具有历史意义，并且运用方便，由它来证明交、笛卡儿乘积等运算的合法性都是相当简洁的。因此，一般说来，公理⑦还是给予保留的。
ZF的完备性问题 皮亚诺算术公理都是ZF的定理，它们都可以直接从ZF推得。因此，由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的。
ZF的协调性问题 据哥德尔第二不完备性定理，ZF的协调性只能在比它可强的系统中证明。例如,在ZF+大基础公理（即"存在一大基数"）的公理系统中，可以证明ZF是协调的。
类型论 关于集合的型的层次理论。它包括两部分的内容:简单类型论和分支类型论。在简单类型论中,每一集合都有一确定的层次。一集合x能够是另一集合y的元素，当且仅当y的层次比x的层次恰好多一,层次为0的对象是本元（或称为个体，也称为原子）。在这一系统中，变元是带有层次的。对于每一正整数n，都有n层的变元xn,yn等，它们表达n层对象。所以,这里有无穷多个原始概念，即有无穷多个不同层次类型的集合。在这一形式语言中,对于任意的变元xi,yj,xi∈yj为一合法的公式,当且仅当j=i+1。没有不附加型的对象(或变元),每一对象（或变元）都有一正整数n，使得它恰好是n型对象（或n型变元）。人们不能够泛泛地说,所有的对象如何如何，而只能说某一型的所有对象如何如何。当某一对象并不比某一集合的型恰好小于1时,说那个对象是该集合的元素，不仅是错误的，而且是毫无意义（即无定义的）。人们常把这一系统记作T。T的公理是外延公理、概括公理、乘法公理和无穷公理。
① 外延公理 对于任意给定的同一型的两个对象，例如，它们均为n型对象xn,yn,如果对于任意的n＋1型对象zn+1，使得xn在zn+1中，当且仅当yn在zn+1中,则xn与yn为同一对象，即xn=yn。形式地说，就是应当注意，这里的外延公理的陈述方式与ZF的外延公理的陈述方式是有差别的。
② 概括公理 对于任意的公式A(xi)，都存在一个i+1型的集合yi+1，使得。
③ 乘法公理 对于任意不空的i＋1型的集合xi+1，若它的任一元xi都是不空的，且xi+1的任意两个不同的元都是不交的，则存在i型的集合yi,使得xi+1的任一元xi中恰好有一元属于yi。反之，对于yi的任一元，xi+1也一定有一元xi,使得xi含有yi的这一相应元。形式地，就是 应当注意，对于每一型都有一个相应的空集合，上述公式中实际上已出现了i+1型空集合与i型空集合。（下文省去了它们的下标。）
④ 无穷公理 断定存在一个具有无穷多个元素的集合。为了严格地陈述这一公理，先引进一些预备概念。对于两个同型的对象xi,yi,单元集合{xi}与无序对{xi,yi}都是i＋1型对象；有序对i，yi>定义为{{xi},{xi,yi}},是i＋2型对象。这样,以i,yi>为元素的集（即i型对象上的二元关系）就是i+3型的对象。为了断定存在一无穷集合，只须断定有无穷多个本元就够了。关于本元的二元关系为3型集合R3。公式表示关系 R 3 是非自反的, 这也就是说，对于任意的本元。 公式 表示关系R 3 是传递的。无穷公理的形式化陈述如下：
因此，形式系统T不仅有无穷多个原始概念,它的公理也是无穷多条的。简单类型论避免了罗素悖论和康托尔悖论，对数学、逻辑学都产生了巨大的影响，已为逻辑学家所公认；它已体现于各种逻辑系统的形成规则之中。20世纪60年代A.鲁宾孙在创立非标准分析时也运用了这种方法。简单类型论也有它的局限性，它不能避免另外一些悖论，如J.A.里夏尔悖论。因此，罗素又引进了分支类型论。
在分支类型论中，研究的问题更为复杂。它把同一型的集合再分为不同的层次，高层次的集合不能再作为低层的集合看待。最低层次的集合称为直谓的，决定它们的性质（谓词）也称为直谓的性质（谓词），其他的集合（性质）称为非直谓的。例如,一n+1型集合Sn+1,如果对任一n型对象xn，必须考察n+1型整体方能断定 xn是否属于Sn+1时,则称集合Sn+1为非直谓的。非直谓的层次是高的。由概括公理，一性质（谓词或公式）决定一集合，这样，非直谓的集合可以借助于定义它的性质来说明。例如，罗素说：一个典型的英国人具有大多数英国人所具有的性质。其中"具有大多数英国人所具有的性质"也是一种性质，可是，这一性质涉及个体性质的全体。由此，称它是一非直谓的性质。一般说，凡涉及某一类型性质的全体而又是此类型的性质叫做非直谓的性质。从公式的角度看，例如，设z3为一3型集合,令公式A(x1)为 彐y2(x1∈y2Λy2∈z3)在其中含有1型变元x1的自由出现。由概括公理，这一公式决定一个2 型集合。而 S2要借助于2型集合中的约束变元来定义，也就是说,S2要借助包括S2在内的2型集合的整体来定义。这样，S2是一非直谓的集合，A(x1)为非直谓的公式（或称非直谓的谓词）。不是非直谓的集合（性质）叫做直谓的集合（性质）。
分支类型论可以避免诸如里夏尔悖论，但又遇到了新的困难。对于一个集合，人们不能笼统地说此集合的所有元素（它们是较低型的集合）都有哪些性质，而必须区分层次才能作出断定。实数就是这样的集合。对实数就不能作出一个单一的断定。因此，分支类型论不能作为描述数学命题的工具。为了弥补这一缺点，罗素又增加了一条可归约性公理或称为还原公理：每一非直谓性质（谓词）都有一直谓性质（谓词）与之等价。由此，一切型的集合都是直谓的。这样一来，又等于取消了分支类型论。
GB公理 在这GB系统中,人们把类分为集合与真类。它有集合与类两个原始概念。用小写英文字母 x，y，z（或加下标）作为集合变元,用大写英文字母X,Y,Z（或加下标）作为类变元。x∈y，X∈Y，x∈X,X∈x都是初级公式。此外，clα(X)与m(X)是初级公式,它们分别表示X是一类与X是一集合。由此，使用逻辑词获得所有的公式。公理区分为五组：
A组公理
① сlα(x)（任意的集合x都是类）；
② X∈Y→m(X)（若类X是类Y的元素，则X是一集合。即类的任意元都是集合）；
③ (x∈X凮 x∈Y)→X=Y(类由它的元素所决定,即类的外延公理)；
④ 无序对公理（与ZF的相应公理一样）。
B组公理（类的存在公理）
① 存在一类E，它的元素都是有序对集合，并且这一序对的第一元属于第二元。也就是说，存在一类X,使得对于任意的集合x与y，〈x,y〉属于X当且仅当x∈y；
② 对于任意的类X，Y，都有一类Z，它为X与Y的交类；
③ 对于任意的类X，它的补也是一类；
④ 对于任意的类X，它的元素中有序对的第一元组成一类；
⑤ 对于任意的类X,它的元作为有序对的第一元,而第二元为任意的集合，所有这些有序对组成一类；
⑥ 对于任一类X,它的逆(记为X_1)也是一类，其中X_1是这样定义的:对于任意的集合S1,S2,有:1,S2>∈X当且仅当2,S1>∈X_1；
⑦ 对于任一类 X，存在一类Y，使得对于任意的三元组〈x,y,z〉,有〈x,y,z〉∈X当且仅当〈y,z,x〉∈Y；
⑧ 对于任一类X,存在一类Y，使得对于任意的三元组〈x,y,z〉,有〈x,y,z〉∈X当且仅当〈x,z,y〉∈Y。
C组公理（集合的存在公理）
① 无穷公理 存在一集合，它具有无穷多个元素；
② 并集合公理 任一集合的所有的元的元组成一集合；
③ 幂集合公理 任一集合的所有的子集合组成一集合；
④ 替换公理 对于描述一对一的类X,也就是说,对于任意集合y，至多有一集合z，使得〈y,z〉∈X。这时，若把X 中有序对的第一元限制在一给定的集合S1内，则X中相应于S1中元的有序对的第二元也是一集合；
不难看出，上述公理①、②、③分别与ZF中的公理⑥、④、⑤是相同的。而公理④与ZF中的公理⑧也是类似的，不同的是在那里的前提是一具有一对一性质的公式,这里是一对一性质的类。因此，ZF是一公理模式,而GB不是模式。不难验证,B组公理是对应于公式的通常运算的一组公理。
D组公理（类似于ZF的正则公理） 对于任意的不空类X，都有一集合y∈X，且y与X不交。
E组公理（选择公理） 它比ZF中的相应公理稍强一些。具体地说，存在一类 X，它的元素都是有序对集合，具有一对一的性质，亦即，对于任一集合y，恰有集合z，使得〈y,z〉∈X,且对于任一不空集合y，有z∈y，使得〈y,z〉∈X。
这五组公理中，没有公理模式。因此，它是一有穷的公理系统。这是它的重大特点之一。它规定真类不能作为类的元素，从而摆脱了以往的悖论。
集合论公理系统并不是随意的，而是有它的科学标准，这就是：①能够描述康托尔理论的丰富内容，建立康托尔理论中已有的定理；②能够摆脱以往出现的悖论；③便于解决集合论未解决的问题，中心问题是连续统假设。前两条是基本的。当然，能否确保一系统的协调性，总是人们关心的首要问题。但是由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明。例如，若存在大基数作为一公理的话，则ZF是协调的。关于③，由哥德尔与科恩的工作可知，连续统假设在ZF（或GB）中是不可判定的，它即不能被证明，也不能被否证。换言之,在著名的集合论公理系统中,都不足以解决连续统假设。这正是人们不断地寻求新公理系统的主要原因。人们总希望能找到科学的为大家所能接受的公理系统，并且得以解决著名的未解决的问题。
参考书目
张锦文编著：《集合论浅说》，科学出版社，北京，1984。
A.A.Fraenkel and Bar-Hillel,Foundations of Set Theory,North-Holland, Amsterdam, 1958.
K.Gdel,The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory,Princeton Univ. Press, Princeton,1940.
P.J.Cohen,Set Theory and the Continuum Hypothesis,W.A.Benjamin, New York, 1966.
R.B.Chanqui,Axiomotic Set Theory, Impredicative Theories of Classes,North-Holland, Oxford, 1981.
除了上述三个最著名的系统外，还有奎因系统，王浩系统，阿克曼系统，莫利和斯科特系统也都是值得重视的。近年来,人们也相当重视非直谓类的公理系统,其中有本质上是贝尔奈斯1961年给出的BC系统。
策梅洛-弗伦克尔公理系统 在1908年策梅洛系统的基础上，经A.T.斯科朗、A.A.弗伦克尔的改进与补充而建立的一个公理系统，是康托尔集合论方法的形式化处理。它易于理解，是影响最广的一个系统，人们通常把上述系统叫做ZF系统，并简记为ZF。它的原始概念是集合和属于关系，它们不是由定义给出的，而是借助于一阶语言（见一阶逻辑）由公理直接予以刻画的。这一系统的公理是下述10条。
① 外延公理 对于任意的两个集合x与y，如果x的任一元都是y的元，反之,y的任一元都是x的元,则x＝y。换句话说,对于任意两个集合,它们的元素相同时，它们为同一个集合,亦即。
② 空集合存在公理 存在一个没有任何元素的集合。也就是说,空集合是存在的,空集合通常记作。即彐x凬y(y唘x)。
③ 无序对集合存在公理 对于任意的集合x，y,都存在一集合z，它的元素恰好是x 与y ，即。此公理中的集合z，记作{x,y},称为x与y的无序对集合。当x=y时,它就是{x},此时称｛x｝为x的单元集合。
④ 并集合公理 对于任意的集合x，都存在一集合y，y的元素恰好是x的所有元素的元素，即。此公理中定义的集合y 称为x的并集合，记作∪x。由此公理,对于任意的集合S1,S2，它们的并S1∪S2就定义为集合∪{S1,S2}。
⑤ 幂集合公理 对于任意的集合x,都有一个集合y，y的元素恰好是x的子集合。即，其中。此公理中定义的集合 y称为x的幂集合，记作P(x)。
⑥ 无穷公理 存在着一个集合,它的元素恰好是所有自然数，此集合记作ω。即。
⑦ 分离公理模式 对任意的集合论公式A(z)和任意的集合x，都存在一集合y，y 的元素恰好是由满足公式A(z)且属于x的那些元素组成。即。
⑧ 替换公理模式 对于任意的公式A(x,y),如果对任意的集合x，都有惟一的集合y，使得A(x,y)成立，那么对任意的集合S1，有一集合S2，使得S2 ={u｜t∈S1且A(t,u)}。也就是说,若A(x,y)具有一对一的性质，这时，对于任一集合S1,由S1中每一元素经A(x,y)对应的值组成一集合，即
⑨ 正则公理（基础公理） 对于任一非空集合S,都有一集合y，使得y∈S且y与S不交，即。
⑩ 选择公理 公理⑦与公理⑧都是对任意公式而言，一公式对应一条公理，因为有可数无穷个公式，所以有可数无穷多条公理。但是，这样的公式都有统一的格式，因此，称它们为公理模式。（见选择公理）
在策梅洛1908年的论文中，分离公理中的A(z)仅指集合的性质。然而，性质仍然是一个很含混的概念，弗伦克尔把性质形式化为一阶语言中的公式，从而使这一概念清晰和严谨了。在文献中，人们常把公理①～⑦与⑨～⑩一起记为Z（即策梅洛系统）,把公理①～⑩一起记为ZF。有时为了突出选择公理，人们也把公理①～⑨记为ZF，而把公理①～⑩记为ZFC。
ZF的独立性问题 ZF不是独立的，例如，由公理①～⑥与⑧～⑨可以推出公理⑦。但由于公理⑦是策梅洛首先提出的，具有历史意义，并且运用方便，由它来证明交、笛卡儿乘积等运算的合法性都是相当简洁的。因此，一般说来，公理⑦还是给予保留的。
ZF的完备性问题 皮亚诺算术公理都是ZF的定理，它们都可以直接从ZF推得。因此，由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的。
ZF的协调性问题 据哥德尔第二不完备性定理，ZF的协调性只能在比它可强的系统中证明。例如,在ZF+大基础公理（即"存在一大基数"）的公理系统中，可以证明ZF是协调的。
类型论 关于集合的型的层次理论。它包括两部分的内容:简单类型论和分支类型论。在简单类型论中,每一集合都有一确定的层次。一集合x能够是另一集合y的元素，当且仅当y的层次比x的层次恰好多一,层次为0的对象是本元（或称为个体，也称为原子）。在这一系统中，变元是带有层次的。对于每一正整数n，都有n层的变元xn,yn等，它们表达n层对象。所以,这里有无穷多个原始概念，即有无穷多个不同层次类型的集合。在这一形式语言中,对于任意的变元xi,yj,xi∈yj为一合法的公式,当且仅当j=i+1。没有不附加型的对象(或变元),每一对象（或变元）都有一正整数n，使得它恰好是n型对象（或n型变元）。人们不能够泛泛地说,所有的对象如何如何，而只能说某一型的所有对象如何如何。当某一对象并不比某一集合的型恰好小于1时,说那个对象是该集合的元素，不仅是错误的，而且是毫无意义（即无定义的）。人们常把这一系统记作T。T的公理是外延公理、概括公理、乘法公理和无穷公理。
① 外延公理 对于任意给定的同一型的两个对象，例如，它们均为n型对象xn,yn,如果对于任意的n＋1型对象zn+1，使得xn在zn+1中，当且仅当yn在zn+1中,则xn与yn为同一对象，即xn=yn。形式地说，就是应当注意，这里的外延公理的陈述方式与ZF的外延公理的陈述方式是有差别的。
② 概括公理 对于任意的公式A(xi)，都存在一个i+1型的集合yi+1，使得。
③ 乘法公理 对于任意不空的i＋1型的集合xi+1，若它的任一元xi都是不空的，且xi+1的任意两个不同的元都是不交的，则存在i型的集合yi,使得xi+1的任一元xi中恰好有一元属于yi。反之，对于yi的任一元，xi+1也一定有一元xi,使得xi含有yi的这一相应元。形式地，就是 应当注意，对于每一型都有一个相应的空集合，上述公式中实际上已出现了i+1型空集合与i型空集合。（下文省去了它们的下标。）
④ 无穷公理 断定存在一个具有无穷多个元素的集合。为了严格地陈述这一公理，先引进一些预备概念。对于两个同型的对象xi,yi,单元集合{xi}与无序对{xi,yi}都是i＋1型对象；有序对
因此，形式系统T不仅有无穷多个原始概念,它的公理也是无穷多条的。简单类型论避免了罗素悖论和康托尔悖论，对数学、逻辑学都产生了巨大的影响，已为逻辑学家所公认；它已体现于各种逻辑系统的形成规则之中。20世纪60年代A.鲁宾孙在创立非标准分析时也运用了这种方法。简单类型论也有它的局限性，它不能避免另外一些悖论，如J.A.里夏尔悖论。因此，罗素又引进了分支类型论。
在分支类型论中，研究的问题更为复杂。它把同一型的集合再分为不同的层次，高层次的集合不能再作为低层的集合看待。最低层次的集合称为直谓的，决定它们的性质（谓词）也称为直谓的性质（谓词），其他的集合（性质）称为非直谓的。例如,一n+1型集合Sn+1,如果对任一n型对象xn，必须考察n+1型整体方能断定 xn是否属于Sn+1时,则称集合Sn+1为非直谓的。非直谓的层次是高的。由概括公理，一性质（谓词或公式）决定一集合，这样，非直谓的集合可以借助于定义它的性质来说明。例如，罗素说：一个典型的英国人具有大多数英国人所具有的性质。其中"具有大多数英国人所具有的性质"也是一种性质，可是，这一性质涉及个体性质的全体。由此，称它是一非直谓的性质。一般说，凡涉及某一类型性质的全体而又是此类型的性质叫做非直谓的性质。从公式的角度看，例如，设z3为一3型集合,令公式A(x1)为 彐y2(x1∈y2Λy2∈z3)在其中含有1型变元x1的自由出现。由概括公理，这一公式决定一个2 型集合。而 S2要借助于2型集合中的约束变元来定义，也就是说,S2要借助包括S2在内的2型集合的整体来定义。这样，S2是一非直谓的集合，A(x1)为非直谓的公式（或称非直谓的谓词）。不是非直谓的集合（性质）叫做直谓的集合（性质）。
分支类型论可以避免诸如里夏尔悖论，但又遇到了新的困难。对于一个集合，人们不能笼统地说此集合的所有元素（它们是较低型的集合）都有哪些性质，而必须区分层次才能作出断定。实数就是这样的集合。对实数就不能作出一个单一的断定。因此，分支类型论不能作为描述数学命题的工具。为了弥补这一缺点，罗素又增加了一条可归约性公理或称为还原公理：每一非直谓性质（谓词）都有一直谓性质（谓词）与之等价。由此，一切型的集合都是直谓的。这样一来，又等于取消了分支类型论。
GB公理 在这GB系统中,人们把类分为集合与真类。它有集合与类两个原始概念。用小写英文字母 x，y，z（或加下标）作为集合变元,用大写英文字母X,Y,Z（或加下标）作为类变元。x∈y，X∈Y，x∈X,X∈x都是初级公式。此外，clα(X)与m(X)是初级公式,它们分别表示X是一类与X是一集合。由此，使用逻辑词获得所有的公式。公理区分为五组：
A组公理
① сlα(x)（任意的集合x都是类）；
② X∈Y→m(X)（若类X是类Y的元素，则X是一集合。即类的任意元都是集合）；
③ (x∈X凮 x∈Y)→X=Y(类由它的元素所决定,即类的外延公理)；
④ 无序对公理（与ZF的相应公理一样）。
B组公理（类的存在公理）
① 存在一类E，它的元素都是有序对集合，并且这一序对的第一元属于第二元。也就是说，存在一类X,使得对于任意的集合x与y，〈x,y〉属于X当且仅当x∈y；
② 对于任意的类X，Y，都有一类Z，它为X与Y的交类；
③ 对于任意的类X，它的补也是一类；
④ 对于任意的类X，它的元素中有序对的第一元组成一类；
⑤ 对于任意的类X,它的元作为有序对的第一元,而第二元为任意的集合，所有这些有序对组成一类；
⑥ 对于任一类X,它的逆(记为X_1)也是一类，其中X_1是这样定义的:对于任意的集合S1,S2,有:
⑦ 对于任一类 X，存在一类Y，使得对于任意的三元组〈x,y,z〉,有〈x,y,z〉∈X当且仅当〈y,z,x〉∈Y；
⑧ 对于任一类X,存在一类Y，使得对于任意的三元组〈x,y,z〉,有〈x,y,z〉∈X当且仅当〈x,z,y〉∈Y。
C组公理（集合的存在公理）
① 无穷公理 存在一集合，它具有无穷多个元素；
② 并集合公理 任一集合的所有的元的元组成一集合；
③ 幂集合公理 任一集合的所有的子集合组成一集合；
④ 替换公理 对于描述一对一的类X,也就是说,对于任意集合y，至多有一集合z，使得〈y,z〉∈X。这时，若把X 中有序对的第一元限制在一给定的集合S1内，则X中相应于S1中元的有序对的第二元也是一集合；
不难看出，上述公理①、②、③分别与ZF中的公理⑥、④、⑤是相同的。而公理④与ZF中的公理⑧也是类似的，不同的是在那里的前提是一具有一对一性质的公式,这里是一对一性质的类。因此，ZF是一公理模式,而GB不是模式。不难验证,B组公理是对应于公式的通常运算的一组公理。
D组公理（类似于ZF的正则公理） 对于任意的不空类X，都有一集合y∈X，且y与X不交。
E组公理（选择公理） 它比ZF中的相应公理稍强一些。具体地说，存在一类 X，它的元素都是有序对集合，具有一对一的性质，亦即，对于任一集合y，恰有集合z，使得〈y,z〉∈X,且对于任一不空集合y，有z∈y，使得〈y,z〉∈X。
这五组公理中，没有公理模式。因此，它是一有穷的公理系统。这是它的重大特点之一。它规定真类不能作为类的元素，从而摆脱了以往的悖论。
集合论公理系统并不是随意的，而是有它的科学标准，这就是：①能够描述康托尔理论的丰富内容，建立康托尔理论中已有的定理；②能够摆脱以往出现的悖论；③便于解决集合论未解决的问题，中心问题是连续统假设。前两条是基本的。当然，能否确保一系统的协调性，总是人们关心的首要问题。但是由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明。例如，若存在大基数作为一公理的话，则ZF是协调的。关于③，由哥德尔与科恩的工作可知，连续统假设在ZF（或GB）中是不可判定的，它即不能被证明，也不能被否证。换言之,在著名的集合论公理系统中,都不足以解决连续统假设。这正是人们不断地寻求新公理系统的主要原因。人们总希望能找到科学的为大家所能接受的公理系统，并且得以解决著名的未解决的问题。
参考书目
张锦文编著：《集合论浅说》，科学出版社，北京，1984。
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K.Gdel,The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory,Princeton Univ. Press, Princeton,1940.
P.J.Cohen,Set Theory and the Continuum Hypothesis,W.A.Benjamin, New York, 1966.
R.B.Chanqui,Axiomotic Set Theory, Impredicative Theories of Classes,North-Holland, Oxford, 1981.
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