补充资料：曲面理论

曲面理论
theory of surfaces

　　曲面理论[tl犯Oryot’盯faees;noBep翔ocTe.祀op，二] 微分几何学(different闭罗ometry)中处理曲面的一个分支.在曲面理论中人们观察曲面的形状、曲率，曲面上各种类型曲线的性质、变形，以及具有给定的内在和外在特性的曲面的存在性等. 曲面理论中有两种观点:曲面可看作具有其自身内蕴度量的度量空间(称为内蕴几何学)或看作空间中的图形(称为外在几何学)曲面理论中(如等距浸入(isoTnetric~rsion)问题，等距形变(defo~-tioll，isollletric)问题等)大多倾向于研究内蕴与外在儿何学之问的联系，对于CZ类正则曲面这种联系的研究已相当完善.见浸入流形的几何学(geometryof1111刀lersed nlanilblds). 对曲面上曲线(渐近线(asymptotic hae)、测地线(geodesicl访e)等)的行为及它们的单参数族的对(称为网，见网(微分几何学中的)(net(in djlferen-血 1 geo服tl-y)))的研究导致了一些特殊的曲面类例如，平移曲面(translation surihce)—存在平移网的曲面，Voss曲面(Voss surface)—存在Voss网的曲面，直纹曲面(川led sulface)—存在半测地渐近网的曲面，等等.网论与曲面到曲面的映射紧密相关.下面是一些最重要的映射类;等距映射(isornetricmappnlg)，它保持弧长、面积及从一点射出的两个方向之间的夹角不变;共形映射(confor盯坦1 mapp吨)，它保持从一点射出的任意两个方向之间的夹角不变(例如球极平面投影(stercognlphic projeetion)):球面映射(spherical map)，该映射将曲面上任一点映为该点的单位法向量在平行移动下对应的单位球面上的点;测地映射(geodesic mapping)，它将一个曲面上的测地线映为另一个曲面上的测地线;等积映射，它使对应图形的面积之比为一常数. 曲面理论还包括研究各种曲面类，例如二次曲面(s班faee of the seeond order)，螺旋运动曲面(sux-faee of serew motion)，螺旋面(11eli七oid)，Cat汕叨曲面(Catalan surfaee)，劈锥曲面(eono记)，回归面(regression surfaee)，管道曲面(call王11 surface)，肠帼n圆纹曲面(DLIPin cyclide)，D.哪释曲面(Enne-per sur俪e)，We吨ar俪曲面(W匕in罗Ltten suxface)，等等.其中极小曲面(mini皿d sulface)特别引人注目.涉及到应用方面，大多关注于三重正交曲面系(trior-山ogonal systetn of surfaees)，如共焦二阶曲面. 除了研究曲面在全空间的等距变换下的不变性质(相关于所谓曲面的度量理论(服tric theory of sur-faces)外，还研究曲面在其他变换群，如仿射群或射影变换群下的不变性质.仿射曲面论考虑曲面在等仿射变换(即保体积的仿射变换)下的不变性，而射影曲面论则研究曲面的射影不变性.亦见仿射微分几何学

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