3) Axisymmetric analysis with FEM
轴对称有限元法
1.
The difficulty of analyzing the settlements of pile foundation in layered foundation with elevated cap by using semi-analytical and semi-numerical(SASN) method is in getting the fundamental solution of soil,but this can be easily obtained by axisymmetric analysis with FEM.
用轴对称有限元法,按照桩帽模型和圆筒模型考虑群桩的影响,可以非常方便地求出层状土中群桩顶作用荷载和桩的沉降之间的关系。
4) symmetric finite element
对称有限元
1.
L ∞ norm estimates are obtained by a symmetric finite element method for the elliptic problem and the time dependent problem.
研究非线性两点边值问题的有限元方法 ,利用对称有限元法分别给出了稳态问题和非稳态问题有限元解的最大模估计 。
5) axle-symmetrical plane strain finite element method
轴对称有限单元法
6) symmetric finite volume element method
保对称有限体方法
补充资料：有限元方法
求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。
作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为"单元"，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为"有限元空间",它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。
典型问题 为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程
,
(1) 变系数 β表示介质不均匀。物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。与方程(1)相配的有如下三类边界条件：
第一类：；
第二类：；
第三类：。这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当 α=0时的特例。
为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件
,
(2)
,
(3)β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件,
(4)及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。
变分原理 与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。构造"能量积分" 并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即
,
(6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事实上，极小能量原理之类的变分原理是物理问题的原始形式，微分方程是数学推导的结果。在变分问题中,只有边界条件(2)是强加到容许函数集上的,边界条件(3)及间断介质的接触条件(4)都是极小解u自然满足的，这种情况有利于离散化的统一处理。
剖分逼近 几何剖分的基本单元可取为三角形、矩形、四边形、曲边形等等，其中三角形最基本常用。
假定问题的求解区域为多边形，介质间断线为折线，作三角剖分如图所示。在剖分中需注意介质间断线与某些三角形的边重合，不同类边界条件的交点与某些三角形的顶点重合。单元的顶点称为网格结点，在дΩ上称边界结点，在Ω内称内结点。
几何剖分之后考虑插值逼近。对三角形单元最简单的是线性插值，即利用每个单元Δk三顶点的函数值确定线性函数αkx+bky+сk的三个系数。 把所有单元{Δk}确定的{αkx+bky+сk}合在一起,就得到Ω上的一个分片线性插值函数。Г0上的边界结点取值为零的分片线性插值函数都属于问题(5)、(6)的容许函数集V,全体这样的函数构成一个有限维线性空间，称为有限元空间。假定内结点和Г1上的边界结点共有N个，以pj(j=1,...,N)表示,则的维数就是No 令φi表示中满足条件
(7)的成员，则{φi}构成线性空间的一组基。中任意函数v，都可表为,
(8)Vj是结点pj上的函数值v(pj)。
单元上的插值方式除了用一次函数外，还可以用二次、三次或更高次的多项式，也可用非多项式函数。插值数据除了用函数值的拉格朗日型外，还可以是包括导数的埃尔米特型插值。种种的几何剖分加上种种的插值方式,就产生众多形式的有限元空间,使有限元方法可有众多的选择。
有限元的离散化 有限元离散化的出发点是与微分方程等价的变分问题。对于典型问题来说，就是从(5)、(6)出发,用剖分逼近的方法构造有限元空间（也称试探函数空间），然后求泛函J(v)在中的极小解堚 作为近似解,即堚满足,
(9)把(8)的表达公式代入(5)中的J(v)，得,
(10)式中,
(11),
(12)把(9)的极小解表为,则(U1,U2,...,UN)使二次函数(10)达到极小,由微分学知满足线性方程组。
(13)方程组(13)来自正定二次函数的极小解问题，故系数矩阵一定对称正定。由于基函数φi只在以pi为顶点的单元上不为零，故系数αij=只当结点pi与pj连成三角形一边时才不为零。系数矩阵这种稀疏性质，加上对称正定，对方程的求解很有利。
系数以及自由项的实际计算，通常按所谓单元分析与总体合成的方式进行。即逐个分析Ω内的单元和Г1上的单元边对有关的 αiz及??i的贡献，然后往上迭加。当Ω内所有单元及Г1上所有单元边都分析之后，方程组(13)的系数矩阵及自由项也就合成出来。间断介质的影响反映在单元分析中被积函数的β在Ω+及Ω-取不同的表达式。单元分析通常都采用某种数值积分公式计算。
从虚功原理出发的离散化 微分方程边值问题 (1)、(2)、(3)、(4)的解u还同时满足:对容许函数集V中任一函数v，成立
,
(14)这里α(u，v)及F(v)即表达式(11)、(12)。在物理学中，方程（14）是另一变分原理的数学形式，称为虚功原理或虚位移原理。有限元方法更一般的形式是从虚功方程(14)出发用剖分插值的方式构造一个试探函数空间，并同时构造一个检验函数空间徰;在中寻找近似解堚,使之对徰中的任一函数ψ，成立,
(15)当选取徰与相同时, (15)中的ψ可选为基函数φi，同时用代入，就得到方程组(13)。
对于非自共轭椭圆算子L,微分方程边值问题Lu=??不存在等价的极小值问题，但这时仍可建立虚功方程(14)，其中α(u,v)=(Lu，v)F)=(??，v),(·,·)表示L2(Ω)的内积。因此，有限元方法仍然有效。
从极小能量原理出发进行离散化又常称为里茨法，从虚功原理出发称为加廖金法。后者是前者的推广。
评价 传统的里茨－加廖金方法,采取解析函数作为试探函数,不能满足任意多边形区域的边界条件,也不适应间断介质的要求，对现在的典型例子无能为力。差分方法虽然能够对付,但由于它对方程(1)及条件(2)、(3)、(4)在处理上不统一,在计算效果及理论分析两方面都带来不利。有限元方法正好对这两者扬长避短，一方面保持了里茨－加廖金方法从变分原理出发的优点,在提法上有极大的概括性，给离散化带来统一处理的方便；另一方面又吸收了差分法剖分逼近的优点，能灵活适应各种几何形状和间断介质等复杂情况。有限元方法除了解题效能高强外，还有牢靠的理论基础，是计算数学理论一大成就。
回顾与展望 有限元方法在中国与西方从不同的实践背景，沿着不同的学术道路、各自独立平行地发展起来。在西方，有限元思想在R.库朗1943年的一篇论文中明确地提出过，但一直没有受到重视。20世纪50年代中期，欧美工程界J.H.阿吉里斯、R.W.克拉夫等以航空工程为背景，在结构分析和矩阵方法基础上提出了结构有限元的雏形。60年代初期，引进连续体的单元剖分；60年代中期，逐渐明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方数学家对有限元法进行数学的理论分析，开始了有限元法在计算数学中的黄金时代。
在中国，60年代初期，冯康、黄鸿慈等结合解决一系列大型水坝建设的应力分析问题，开展了椭圆型边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂性,把能量法与差分法结合在一起,于1964年建立了求解椭圆型边值问题一套普遍有效的方法，命名为基于变分原理的差分方法，即通称的有限元方法。与此同时,建立了方法的数学理论基础。而后20年中,周天孝、唐立民对混合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发展，冯康等对边界有限元的发展，石钟慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展，都作了重要贡献。
有限元方法对于定常态问题的计算已经获得公认的巨大成功，对不定常态问题也有良好开展。有限元方法是一个发展着的体系，在前述的基本原则下可有种种变化和发展，特别是可和其他方法结合起来，进一步解决更困难更复杂的数学问题。
参考书目
冯康、石钟慈著：《弹性结构的数学理论》，科学出版社，北京，1981。
G.斯特朗、G.J.菲克斯同著,崔俊芝、宫著铭译:《有限元分析》，科学出版社，北京，1983。(G.Strang and G.J.Fix,An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973.)
P.G.Ciarlet,The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.
O.C.Zienkiewicz,The Finite Element Method,3rded.,McGraw-Hill, London, 1977.
作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为"单元"，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为"有限元空间",它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。
典型问题 为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程
,
(1) 变系数 β表示介质不均匀。物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。与方程(1)相配的有如下三类边界条件：
第一类：；
第二类：；
第三类：。这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当 α=0时的特例。
为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件
,
(2)
,
(3)β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件,
(4)及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。
变分原理 与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。构造"能量积分" 并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即
,
(6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事实上，极小能量原理之类的变分原理是物理问题的原始形式，微分方程是数学推导的结果。在变分问题中,只有边界条件(2)是强加到容许函数集上的,边界条件(3)及间断介质的接触条件(4)都是极小解u自然满足的，这种情况有利于离散化的统一处理。
剖分逼近 几何剖分的基本单元可取为三角形、矩形、四边形、曲边形等等，其中三角形最基本常用。
假定问题的求解区域为多边形，介质间断线为折线，作三角剖分如图所示。在剖分中需注意介质间断线与某些三角形的边重合，不同类边界条件的交点与某些三角形的顶点重合。单元的顶点称为网格结点，在дΩ上称边界结点，在Ω内称内结点。
几何剖分之后考虑插值逼近。对三角形单元最简单的是线性插值，即利用每个单元Δk三顶点的函数值确定线性函数αkx+bky+сk的三个系数。 把所有单元{Δk}确定的{αkx+bky+сk}合在一起,就得到Ω上的一个分片线性插值函数。Г0上的边界结点取值为零的分片线性插值函数都属于问题(5)、(6)的容许函数集V,全体这样的函数构成一个有限维线性空间，称为有限元空间。假定内结点和Г1上的边界结点共有N个，以pj(j=1,...,N)表示,则的维数就是No 令φi表示中满足条件
(7)的成员，则{φi}构成线性空间的一组基。中任意函数v，都可表为,
(8)Vj是结点pj上的函数值v(pj)。
单元上的插值方式除了用一次函数外，还可以用二次、三次或更高次的多项式，也可用非多项式函数。插值数据除了用函数值的拉格朗日型外，还可以是包括导数的埃尔米特型插值。种种的几何剖分加上种种的插值方式,就产生众多形式的有限元空间,使有限元方法可有众多的选择。
有限元的离散化 有限元离散化的出发点是与微分方程等价的变分问题。对于典型问题来说，就是从(5)、(6)出发,用剖分逼近的方法构造有限元空间（也称试探函数空间），然后求泛函J(v)在中的极小解堚 作为近似解,即堚满足,
(9)把(8)的表达公式代入(5)中的J(v)，得,
(10)式中,
(11),
(12)把(9)的极小解表为,则(U1,U2,...,UN)使二次函数(10)达到极小,由微分学知满足线性方程组。
(13)方程组(13)来自正定二次函数的极小解问题，故系数矩阵一定对称正定。由于基函数φi只在以pi为顶点的单元上不为零，故系数αij=只当结点pi与pj连成三角形一边时才不为零。系数矩阵这种稀疏性质，加上对称正定，对方程的求解很有利。
系数以及自由项的实际计算，通常按所谓单元分析与总体合成的方式进行。即逐个分析Ω内的单元和Г1上的单元边对有关的 αiz及??i的贡献，然后往上迭加。当Ω内所有单元及Г1上所有单元边都分析之后，方程组(13)的系数矩阵及自由项也就合成出来。间断介质的影响反映在单元分析中被积函数的β在Ω+及Ω-取不同的表达式。单元分析通常都采用某种数值积分公式计算。
从虚功原理出发的离散化 微分方程边值问题 (1)、(2)、(3)、(4)的解u还同时满足:对容许函数集V中任一函数v，成立
,
(14)这里α(u，v)及F(v)即表达式(11)、(12)。在物理学中，方程（14）是另一变分原理的数学形式，称为虚功原理或虚位移原理。有限元方法更一般的形式是从虚功方程(14)出发用剖分插值的方式构造一个试探函数空间，并同时构造一个检验函数空间徰;在中寻找近似解堚,使之对徰中的任一函数ψ，成立,
(15)当选取徰与相同时, (15)中的ψ可选为基函数φi，同时用代入，就得到方程组(13)。
对于非自共轭椭圆算子L,微分方程边值问题Lu=??不存在等价的极小值问题，但这时仍可建立虚功方程(14)，其中α(u,v)=(Lu，v)F)=(??，v),(·,·)表示L2(Ω)的内积。因此，有限元方法仍然有效。
从极小能量原理出发进行离散化又常称为里茨法，从虚功原理出发称为加廖金法。后者是前者的推广。
评价 传统的里茨－加廖金方法,采取解析函数作为试探函数,不能满足任意多边形区域的边界条件,也不适应间断介质的要求，对现在的典型例子无能为力。差分方法虽然能够对付,但由于它对方程(1)及条件(2)、(3)、(4)在处理上不统一,在计算效果及理论分析两方面都带来不利。有限元方法正好对这两者扬长避短，一方面保持了里茨－加廖金方法从变分原理出发的优点,在提法上有极大的概括性，给离散化带来统一处理的方便；另一方面又吸收了差分法剖分逼近的优点，能灵活适应各种几何形状和间断介质等复杂情况。有限元方法除了解题效能高强外，还有牢靠的理论基础，是计算数学理论一大成就。
回顾与展望 有限元方法在中国与西方从不同的实践背景，沿着不同的学术道路、各自独立平行地发展起来。在西方，有限元思想在R.库朗1943年的一篇论文中明确地提出过，但一直没有受到重视。20世纪50年代中期，欧美工程界J.H.阿吉里斯、R.W.克拉夫等以航空工程为背景，在结构分析和矩阵方法基础上提出了结构有限元的雏形。60年代初期，引进连续体的单元剖分；60年代中期，逐渐明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方数学家对有限元法进行数学的理论分析，开始了有限元法在计算数学中的黄金时代。
在中国，60年代初期，冯康、黄鸿慈等结合解决一系列大型水坝建设的应力分析问题，开展了椭圆型边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂性,把能量法与差分法结合在一起,于1964年建立了求解椭圆型边值问题一套普遍有效的方法，命名为基于变分原理的差分方法，即通称的有限元方法。与此同时,建立了方法的数学理论基础。而后20年中,周天孝、唐立民对混合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发展，冯康等对边界有限元的发展，石钟慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展，都作了重要贡献。
有限元方法对于定常态问题的计算已经获得公认的巨大成功，对不定常态问题也有良好开展。有限元方法是一个发展着的体系，在前述的基本原则下可有种种变化和发展，特别是可和其他方法结合起来，进一步解决更困难更复杂的数学问题。
参考书目
冯康、石钟慈著：《弹性结构的数学理论》，科学出版社，北京，1981。
G.斯特朗、G.J.菲克斯同著,崔俊芝、宫著铭译:《有限元分析》，科学出版社，北京，1983。(G.Strang and G.J.Fix,An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1973.)
P.G.Ciarlet,The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.
O.C.Zienkiewicz,The Finite Element Method,3rded.,McGraw-Hill, London, 1977.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条