补充资料：对称群

对称群
symmetric group

对称群[卿加etric孚仪Ip;c“MMeTp“叹ecKa“rpynna] 集合X上所有置换(到自身的一一映射)的群，其运算是合成(见置换群〔permuta石on grouP)).集合X上的对称群记为S(X).对等势的X和X‘，群S(X)和S(X’)是同构的·有限集X={1，2，…，。}上的对称群记为S。.每个抽象群同构于某集合X上的对称群S(X)的一个子群(Cay】ey定理(Caylev tlleoreF。)). 令X是有限集.X上的每个置换兀可唯一地表为无交轮换的乘积(置换的轮换分解(cycle decon1Po-51石on ofa讲rmutation)(无交的);整数序列 :(兀)=(al，二，a。)，其中a，是兀的长为i的轮换个数，称为兀的轮换型(Cycle type)(或轮换指数(cycle index”.两个置换二及二‘在S。中共扼，当一且仅当它们的轮换类型相同，具有轮换型 (”一2，1，0，一，0)的置换称为对换(transPosition);它们构成S。的生成系.对换的集合z={(i，i+1)11=1，，二，”一l}是s。的极小生成集.一般地，集合A={(i*。J*)}活、笋j*}’仁成S。，当且仅当由X作顶点集又以点对(i*，/、)作边，作成的图是树(tree)([2}).这样的生成集的数目为砚”一2个. 交错群(altern日tj月9 group)A。是S。的正规子群.若n笋4，A。是S，t的唯一非平凡真正规子群，又54仅含一个别的非平凡正规子群—Klein4群(目山foul一group):K;={l，(12)/(34)，(13)(24)，(14)(23)}.对;，蕊4，群S。是可解群，但陀)5时，它不可解且A。是非Abe[单群.附lder定理(H6lder theo~):对月笋2，6，群S。是完全群(以〕mPletegro叩).群S:是交换群及S。有一个2阶的外白同构. S、中所有极大的非传递及非本原子群都已知.对每个分划n?m.+川:，川，笋m:，S。中仅有的极大非传递子群是子群S，，xs，.5。中仅有的传递非本原极大子群是S。，与S。之的圈积(wreath prodUCt)(对每个分解n=川，。:).5，.中本原极大子群还未弄清(l卯2)，但已知某些无限系列.例如，S。自然地作用在麦1，2，…，，，}中m个元素的全部子集的集合B::’上;当n笋Zm时，这决定了B厂的置换的一个本原群.当(m，，;)特(2，6)，(2，8)，(3，10)，(4，12)，(，。，2爪)，(。，Zm+1)时它在S(B刃)中是极大子群(见【1〕)考虑q个元素的有限域上n维向量空问中半线性变换的群rL。(q)，就可得另一个系列.该群确定了Grassm狐流形(Grassn笼mnmall而kl)G，(妇，1簇。续。

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