补充资料：范剩余符号

范剩余符号
nonn-resdue symbol

范剩余符号【~.欢，山.卿1喊;cHM.ooH。四e皿。功.“枕Tal，范剩余(norm岛记谧)，H正bert符号(F山比dsyn奴习) 把局部域(】以川石日以)K的乘法群K’中的有序元素对x，夕映射到元素(x，y)eK’的一个函数，此元素是凡次单位根.这个函数可以定义如下:设C。‘K是一个n次本原单位根，将所有a〔K，的根a’加添加到K上，就得到K的指数为n的极大Abel扩张L，其6川曲群为G(L/K)另一方面，有一个典范同构(局部类域论(dass field theory)的基本同构) 出r/K’”~Ga】(L/K)一对元素的范剩余(x，y)则由 0(夕)(x””)二(x，夕)x’/”定义.D.H口bert对于胜=2时二次域的特殊情形引进了范剩余符号的概念.在【4]中有仅仅应用局部类域论给出的范剩余符号的精确定义. 符号(x，y)的性质: 一)双线性:(x，x:，夕)=(x:，夕)(xZ，夕)，(x，夕:夕2)=(x，y:)(x，yZ); 2)斜对称性:(x，y)(y，x)=l; 3)非退化性:对所有的x‘K’，(x，夕)=1蕴含着y任r”;对所有的夕‘K’，(x，y)=1蕴含着x〔K’月; 4)如果x+夕=l，则(x，夕)二l; 5)如果6是K的自同构，则 (。x，。y)=。(x，y); 6)设K，是K的有限扩张，a〔K‘’，b‘K’，则 (a，b)=(Nx，z‘(a)，b)，其中左端的范剩余符号看作是关于K‘的，而右端则是关于K的，凡，‘是由K‘到K的范映射(~几坦p). 7)(x，夕)=l蕴含着y是扩张K(x，1.)中的一个范数(这条性质给出了此符号的名称的解释). 函数(x，y)诱导出非退化的双线性配对 尺‘/r”xK’/K’月~产(n)，其中风n)是由心。生成的单位根群·设甲:K’xK‘~A是到Abel群A的映射。它满足l)，4)以及奎续性条件(condltion of coni加画ty):对任一y‘K’，集合王x‘K’:甲(x，力=l}在K’中是闭的，则范剩余符号具有下述的泛性质(画帐摇目PZDperty)(「3]):如果n是K中单位根的个数，则存在同态职:料(n)~A，使得对任意的x，夕“’，都有 甲(x，夕)=中((x，少)).这个性质可以作为范剩余符号的基本公理定义. 如果F是一个整体域(沙回反匕)，K是F关于某个位v的完备化，则把定义在F’ xF’上的由(局阁‘)范剩余符号和自然嵌人F’~K‘复合所得到的函数(x，y)，亦称为范剩余符号. 有时，范剩余符号定义为由局部类域论(cl侧骆企记t址幻ry)给出的K的极大Abel扩张的对应于元素x‘K‘的自同构口(x).

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