补充资料：Hopf不变量

Hopf不变量
Hopf invariant

HOPf不变且IH呵运粕睑叨t;xon扣，，皿poaoT】 拓扑空间连续映射同伦类的一种不变量.首先由H.HoPf(【l〕，【2」)对于球面映射f:52”一’~S”定义. 设f:夕”一’~酬为连续映射.必要时经过一个同伦，不妨假设这个映射是关于球面夕与52”一’的适当三角剖分的单纯映射，则HoPf不变量是定义作两个在梦”一’中不相交的(。一l)维流形f一’(a)与f一’(b)的环绕系数(linking coeffident)，这里a，b是S”中任意两个不同的点. 映射f:梦”一‘一罗决定了一个元素I月任“2，一1(S”)，元素[f]在同态 二2。_，(s·)一二、_2(Qs·)二万2。_2(。s·)一z之下的象重合于Hopf不变量H(f)(这里h是Hu-化v门cz同态)(〔3]). 现在设f:夕”一’一夕为c，类映射，设微分形式Q‘A”Sn为整系数上同调群H”(夕，Z)的一个生成元.例如，可取0“( dV)/(vols”)，其中dV为S”关于某个度量(比如，将罗嵌人于R”+’所得到的度量)的体积元，vol罗为球面S”的体积.于是形式厂(Q)任A”了”一’为闭的，由于尸(夕”一’;z)为。，故厂(。)=do，口任A”一’夕~’.计算HoPf不变量的一个公式是(见【41): 。(，)一了。八J。· 5 27一! HoPf不变量的定义可以推广(见fsl，f6])到映射f:s’~S”，当。簇4n一4时.这时有分解 二，(Sn VS”)= 二二。(s月)①二，(s”)①二，(s，”一’)e阮r火.，(*)其中 k.:二，十l(S”xs”，S”VS”)一二，十1(52”)为投影k:(s”Xs”，s”Vs·)~(52”，pt)所诱导的同态.令g:夕一夕V犷为将球面夕的赤道捏为一点的映射，则Hopf不变量定义作同态 H:7r，(S”)~二。(52”一’)，它将【f}e二。(S叮)映到元素Igof]任兀，(S”丫S”)在分解(*)中的直和项兀，(夕”一，)上的投影.由于:2。一1(夕”一’)=z，当m二2。一1时便得到通常的HoPf不变量.广享Hopf不孪拿(genelali双月Hopfinvanant)H’定义作下列同态的迭合 ，~，、夕.，~.、，~.、P 兀，(S”)二7T胡(S”丫S月)与 立二，+t(s·xs·，50 vs·)二二，十，(52·)、其中夕是群二，(S”Vs”)到直和项二，+、(S”xs”，S”V夕)的投影，同态 9.与k.则如上述.当次(4n一4时，Hopf一认七iteh氏d不变量(Hopf一场知怡坛汾din彻-an‘))H与Hopf一Hilton不孪早(HoPf一Hiltonin~t)H*由关系H，S。

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