补充资料：Hp 空间

    　　又称哈代空间，勒贝格空间(l^p)以外重要的函数空间之一。
　　
　　单变量的h^p空间，最早来源于复变函数论。设F(z)在复平面的单位圆D(｜z｜<1)内解析，量
　　 (1)刻画了F 的模的p 次幂在圆周 ｜z｜=r上的平均值的大小。假如它对0＜r＜1有界,其中0＜p＜∞,则称F是属于h^p(D)的。当p≥1时,用μ^p(F，r)在0＜r＜1的上确界定义F 的h^p 模，即
　　，则h^p(D)组成一可分的巴拿赫空间，当 0＜p＜1 时，用的上确界定义F 与G 的距离，即，则h^p(D)组成一可分的完备的度量空间。h^p(D)是复变函数论的一个重要的研究对象。
　　
　　可以证明，当F∈h^p(D)(0<∞) 时，F(z)在单位圆周上的边值几乎处处存在，即。这时??(θ)定义在0≤θ≤2π上（也可以看作一周期为2π的函数），且满足相应的不等式。
　　
　　 (2)这样,在这些以2π为周期的复值函数??(θ)与单位圆内的h^p(D)中的函数 F(z)之间,建立了一个对应关系：??(θ)是F(z)在｜z｜=1的某种意义的边值，而F(z)是??(θ)到单位圆内的解析开拓。全体这样的??(θ)记作h^p(T)。它是与h^p(D)同构的一个空间。h^p(T)同以 2π为周期的勒贝格空间l^p(T)的区别在于:h^p(T)的函数??(θ)不仅满足不等式(2)，而且它还必须是某个满足的单位圆内的解析函数F(z)的边值。由此不难证明，当p>1时，h^p(T)同构于l^p(T)，但当0＜p≤1时,两者就不同构了。例如在p =1时，h¹(T)本质上不同于l¹(T)。事实上h¹(T)同构于l¹(T)的一个真子空间，它由全体使得愝(θ∈l¹(T)的??∈l¹(T)组成,其中愝(θ)是??(θ的共轭函数，其定义由下面的等式给出。并且的大小与 的大小是差不多的。历史上,1915年英国数学家G.H.哈代引入了h^p函数类,1923年匈牙利数学家F.（F.）里斯证明它们是完备的赋范空间或度量空间，并命名它们为哈代空间或简称h^p空间。
　　
　　对于上半平面内的解析函数F(z)，其中z=x+iy，可以类似地用
　　在y>0上有界来定义。这时它们的边值就是定义在实数轴R上的函数,而不是周期函数了。全体这样的函数记作h^p(R)。
　　
　　在傅里叶分析中，有很多定理对l^p(p>1)成立,对l¹并不成立，但对h¹, 相应的结果却是对的。典型的例子是哈代-李特尔伍德定理:如果??∈l^p(T)(1≤2)是周期函数，它的傅里叶级数是，则。这定理对p=1是不正确的。但可改为,若??∈h¹(T),??(θ)的傅里叶级数为，则定理的结果对p=1成立，即。由此可见，在讨论傅里叶分析的许多问题中，h^p是较l^p更为合适的空间（当0≤1）。
　　
　　多变量h^p空间的建立却要晚得多，这是因为单元h^p空间的定义紧密依赖于单元解析函数，然而形式地通过多元解析函数来定义多元h^p空间，由于多元解析函数较单元解析函数复杂得多,未能得到预期的结果,因此需要寻求另外的办法。1960年E.M.施坦和G.韦斯把上半平面的解析函数的实部与虚部的概念推广到 n+1维欧氏空间的上半空间，得到共轭调和函数系的概念。在的前提下,定义了。与上半平面的情形相类似,共轭调和函数系在y→0+时的边值函数构成h^p(Rⁿ)。1964年A.P.考尔德伦与A.赞格蒙把 的条件改进为p>0，但形式上十分复杂。把h^p(R)了解为h^p(R崹)的广义函数意义的边值, 1970年D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪与M.L.西尔弗斯坦证明了广义函数??是h^p(R)(p>0)中某个元素的实部的充分必要条件是极大函数
　　　 　(3)式中φ(x)是具有一定光滑性且在无穷远附近的大小受一定限制的函数，，*表示卷积。1972年C.费弗曼和斯坦把这个结果推广到了多元的情形。值得注意的是，M(??∈l^p这条件完全和解析函数的概念无关,它给出了h^p空间的实变函数论特征。这样，就可以用类似于(3)的条件来定义 h^p(Rⁿ)本身而无须借助任何解析函数或调和函数的概念了。
　　
　　1972年费弗曼和施坦还证明了,h¹(Rⁿ) 的对偶空间是BMO 空间。h¹和BMO对偶关系的发现,使人们对这两个空间的认识深入了一大步。它们已经成了L^p(Rⁿ)(1≤p≤∞)空间理论的必不可少的补充。
　　
　　近年来,数学家还找到了h^p空间的许多其他特征,使h^p空间有许多的推广。傅里叶分析、复分析、泛函分析以及偏微分方程的许多问题,都是在h^p空间与BMO空间中进行讨论的。此外,h^p空间和BMO空间理论也进入到了概率论的鞅论中。
　　

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