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补充资料:Cartan矩阵


Cartan矩阵
Cartan matrix

当它的Cartan矩阵是不可分解的:xndecom拼巧able),即在指标的某些置换后,不可能表为对角块矩阵. 令g=q、十十q。是g分解为单子代数的直和,A,是单I一ie代数g的C盯tan矩阵·则对角块矩阵 {…一{一:……是9的Cartan笼,阵.(对单Lze代数的Cartan矩阵的具体形式,见半单lje代数(Lie al罗bra,semi一slmple).) Cartan矩阵的分量“。二2恤等)/(“r·咐有下列性质: 拭.2:“‘()a,、Z,对,势了 以0二冷u/二11Cartan矩阵与用’‘三成元和关系来kjJ画q密切侧关即g中存在线性无关的生成兀e‘,厂、八,(i=飞、·…:)(称为典范生成元(以n、,,11以l罗nerators。),满足下歹,1关系: 卜,_用/氏h;I气州二“叮(2) }h,厂一“/」,lh‘寿}二以任意两个典范生成儿组可由q的自同构互相变换.典范产仁成元还满足关系 (ad引“’价二。,扭d厂)‘仁’.石二。,,若/,(3)据定义这里(adx汗一卜川对丁一给定的生成兀组。、fh(i一l,二,心关系(2)和(3)定义了g戈见[2〕). 对满足(I)的任意矩阵A,设以。,f,h,(i=l,;)为生成一f以(2),〔3)为定义关系的klLie代数为g妇),则乌训)是有限维的,当且仅当A是一个一半单bc代数的Cartan矩阵{3]I补注]满足条初门)的矩阵左定义一个有限维l玲代数,当且仪当它是王定的;在其他情况,如半正定情形,出现其他有趣的代数,见Kac一M以月y代数(K-a。M以刘y al罗bra),{A2」. 设L是特征为0的代数闭域上的半单Lic代数,则满足条件(2)的生成元e,厂,h,的集合也称为Cheva-lley生成元(Chevalley罗nerators)或Chevalley基份hevalley basis)这样的生成元的存在性定理称为C讹valley定理(Chevalley theorem).关系(2),(,;)定义Lie代数的结果常称为Serre定理(Serre th即。。、2)域K上带单位元的有限维结合代数A的Cartan琴阵是矩阵(ctj)(i·,一‘,“‘、‘),由有限维不可约左A模的完全集N!,…,从来定义.明确地说,气是满足Hom(月,N)并O的不可分解投射左A模月的合成列中凡出现的次数.对每个N,这样的只存在巨在同构意义下是唯一确定的 在一定情况下,〔artan矩阵〔”被证明是对称正定的,甚至C二D了D,这里D是整数矩阵。
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参考词条