1) copy theory of Walsh Function
沃尔什函数复制理论
2) Walsh function
沃尔什函数
1.
Walsh function description of discrete formation model;
离散地层模型的沃尔什函数描述法
2.
Equivalent load density models for feeders based on Walsh function;
以沃尔什函数为基的馈线等效负荷密度模型
3.
A new definition of Walsh function and copy nature;
沃尔什函数的一种新定义及其复制本质
3) generalized Walsh function for hybrid carry system
混合进制广义沃尔什函数
1.
The copy theory of generalized Walsh function for hybrid carry system is first discussed in detail,and then analyzed mathematically.
本文把二进制、多进制沃尔什函数的复制生成理论推广到了混合进制情形 ,给出了混合进制广义沃尔什函数的复制生成方法 ,并对复制生成方法进行了数学分析 。
4) walsh functions argument m
沃尔什参数m
5) Volterra series theory
沃尔特拉级数理论
1.
Based on Volterra series theory and multi-dimentional Laplace transformation, a calculation method for determination of inverse systems for nonlinear systems is presented; and some important results are obtained.
基于沃尔特拉级数理论和多维拉普拉斯变换,给出了非线性逆系统的一种求解方法,得出了一些有意义的重要结果,并给出计算实例。
6) Walsh code
沃尔什码
补充资料：沃尔什逼近
借助于沃尔什函数系的逼近称为沃尔什逼近。1922年出现了拉德马赫尔函数，在工程上称为开关函数。这是一个以1为周期的标准正交系。在基本区间[0,1)上它们的定义如下：φ0(x)=1，若0≤x<1/2；φ0(x)=-1，若1/2≤x<1。对任一自然数n，容易看出，对每个n,φn(x)在[0,1)的2个等分区间上交错地取值1与-1。沃尔什函数系是拉德马赫尔函数系的完备化，首先由美国数学家J.L.沃尔什于1923年给出。如果把自然数n依二进表示为其中则沃尔什函数wn(x)的定义为
w 0(x)=1，
式中乘积是对一切满足n-j=1的j而取。系{wn(x)}同样以1为周期。例如，依二进制，13可表为13=23+22+20，故,而有。在工程上常用列率序的沃尔什函数。为此需要数的格雷码。设对集{0,1}引用伪加运算如下：而对任意两个二进制实数
定义伪加，这里求和由-N +1与-L+1中较小者开始。一个自然数的二进代码是(n_N+1，...，n-1，n0)，它的格雷码G(n)便是对应的数是，这里约定 n-N=0。反之，如果知道了自然数 k的格雷码，则原来的数k的二进代码是。于是，列率序的沃尔什函数系就是｛wαln(x)｝，其中。利用格雷反码G -1(k)，自然有。在数学讨论中以系{wk(x)}为便,但在工程上则以列率序为便。下面列举依列率序的沃尔什函数系的一些性质。
① 乘法公式 对任意k, j=0,1,2,...有
。
② 第二乘法公式 对[0,1)中每个y,除有限个点不计外，关于x都有
(k=0,1,...)。
③ 在整个实轴上,除一个可列集不计外,wαl2k(x)是偶函数而wαl2k+1(x)是奇函数,k=0,1,...。此外，在周期区间[0,1)上，每个wαlk(x)的变号次数恰好是k,k=0,1,...。
④ 函数系{wαlk(x)}k=0,1,...构成[0，1)上的一个完备的标准正交系。
⑤ 函数系{wαlk(x)}k=0,1,...构成一个可换群。系中对每个n＝0,1,...,前2n个函数{wαl0(x)，wαl1(x),...,wαl(x)}构成可换子群。
可将这些性质与正弦余弦函数相比较。正是由于性质④，每个以1为周期的可积函数,都有沃尔什－傅里叶展开式：，式中它们称为??(x)的沃尔什-傅里叶系数。如果用S(x)表示展开式的首2n项部分和，那么,在区间[0,1)上几乎处处有收敛关系
。当??(x)是平方可积时，像三角系情形一样，有帕舍伐尔公式成立：
，并且，展开式的部分和也几乎处处收敛。一个有意义的例子是函数x依沃尔什系的展开式。它处处收敛并有很好的应用，例如锯齿波。在考虑逼近问题时，这样的逐段光滑函数用沃尔什展开比用三角级数展开，一般显得更为有效。
对任意整数 p>2，可以讨论一般的 p进沃尔什函数。还可以引进广义沃尔什函数与沃尔什－傅里叶变式。此外,如果引进所谓逻辑导数，就容易给出简单的沃尔什-傅里叶变式表。
设复数Aj=Aj(p), j=0,1,..., p-1由公式给出，式中在定义于 [0,∞)上的复值函数。若在这区间上一点x处，和当N→∞时收敛，则极限值称为??(x)在x的逻辑导数，并记为??<1>(x)。逻辑导数与平常导数的作用颇为类似。例如,对于指数函数eitx,它对x的平常导数是iteitx。对于广义沃尔什函数w(t,x)，关于x的逻辑导数有
等等。可以用逻辑导数存在的程度来刻画函数性质而得到一种分类法，这在逼近论中特别有用。在这里存在逻辑导数意味着具有某种"光滑性"。整个理论构成了p进域的分析学。尤其有趣的是，最佳逼近论中的正、逆定理，各种逼近算子的逼近性态与型可以同样建立，在方法论上显示它自身的特色。现代半导体技术与集成电路的快速发展，使沃尔什函数的产生与应用有了物质基础。快速沃尔什变换比快速傅里叶变换省时。在信息论、线性系统、通信、电视、雷达与计算机等方面，沃尔什分析都有或将有广泛的应用。沃尔什分析形成了非正弦分析的一个极为重要的方向。在理论上它直接通向局部紧群上调和分析。
参考书目
郑维行、苏维宜、任福贤著：《沃尔什函数理论与应用》，上海科学技术出版社，上海，1983。
郑维行、苏维宜： Walsh分析与逼近算子，《数学进展》，第12卷，第2期，1983。
w 0(x)=1，
式中乘积是对一切满足n-j=1的j而取。系{wn(x)}同样以1为周期。例如，依二进制，13可表为13=23+22+20，故,而有。在工程上常用列率序的沃尔什函数。为此需要数的格雷码。设对集{0,1}引用伪加运算如下：而对任意两个二进制实数
定义伪加，这里求和由-N +1与-L+1中较小者开始。一个自然数的二进代码是(n_N+1，...，n-1，n0)，它的格雷码G(n)便是对应的数是，这里约定 n-N=0。反之，如果知道了自然数 k的格雷码，则原来的数k的二进代码是。于是，列率序的沃尔什函数系就是｛wαln(x)｝，其中。利用格雷反码G -1(k)，自然有。在数学讨论中以系{wk(x)}为便,但在工程上则以列率序为便。下面列举依列率序的沃尔什函数系的一些性质。
① 乘法公式 对任意k, j=0,1,2,...有
。
② 第二乘法公式 对[0,1)中每个y,除有限个点不计外，关于x都有
(k=0,1,...)。
③ 在整个实轴上,除一个可列集不计外,wαl2k(x)是偶函数而wαl2k+1(x)是奇函数,k=0,1,...。此外，在周期区间[0,1)上，每个wαlk(x)的变号次数恰好是k,k=0,1,...。
④ 函数系{wαlk(x)}k=0,1,...构成[0，1)上的一个完备的标准正交系。
⑤ 函数系{wαlk(x)}k=0,1,...构成一个可换群。系中对每个n＝0,1,...,前2n个函数{wαl0(x)，wαl1(x),...,wαl(x)}构成可换子群。
可将这些性质与正弦余弦函数相比较。正是由于性质④，每个以1为周期的可积函数,都有沃尔什－傅里叶展开式：，式中它们称为??(x)的沃尔什-傅里叶系数。如果用S(x)表示展开式的首2n项部分和，那么,在区间[0,1)上几乎处处有收敛关系
。当??(x)是平方可积时，像三角系情形一样，有帕舍伐尔公式成立：
，并且，展开式的部分和也几乎处处收敛。一个有意义的例子是函数x依沃尔什系的展开式。它处处收敛并有很好的应用，例如锯齿波。在考虑逼近问题时，这样的逐段光滑函数用沃尔什展开比用三角级数展开，一般显得更为有效。
对任意整数 p>2，可以讨论一般的 p进沃尔什函数。还可以引进广义沃尔什函数与沃尔什－傅里叶变式。此外,如果引进所谓逻辑导数，就容易给出简单的沃尔什-傅里叶变式表。
设复数Aj=Aj(p), j=0,1,..., p-1由公式给出，式中在定义于 [0,∞)上的复值函数。若在这区间上一点x处，和当N→∞时收敛，则极限值称为??(x)在x的逻辑导数，并记为??<1>(x)。逻辑导数与平常导数的作用颇为类似。例如,对于指数函数eitx,它对x的平常导数是iteitx。对于广义沃尔什函数w(t,x)，关于x的逻辑导数有
等等。可以用逻辑导数存在的程度来刻画函数性质而得到一种分类法，这在逼近论中特别有用。在这里存在逻辑导数意味着具有某种"光滑性"。整个理论构成了p进域的分析学。尤其有趣的是，最佳逼近论中的正、逆定理，各种逼近算子的逼近性态与型可以同样建立，在方法论上显示它自身的特色。现代半导体技术与集成电路的快速发展，使沃尔什函数的产生与应用有了物质基础。快速沃尔什变换比快速傅里叶变换省时。在信息论、线性系统、通信、电视、雷达与计算机等方面，沃尔什分析都有或将有广泛的应用。沃尔什分析形成了非正弦分析的一个极为重要的方向。在理论上它直接通向局部紧群上调和分析。
参考书目
郑维行、苏维宜、任福贤著：《沃尔什函数理论与应用》，上海科学技术出版社，上海，1983。
郑维行、苏维宜： Walsh分析与逼近算子，《数学进展》，第12卷，第2期，1983。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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