补充资料：Cantor集

Cantor集
Cantor set

　　集，其中。，是O或2.其几何描述如下(见图):从10，l]中去掉它的三等分的中间部分(1/3，2/3);再从剩下的区间【O，1/3]，【2/3，l]中去掉它们的三等分的中间部分(l/9，2/9)和(7/9，8/9):同样从剩下的四个区间中去掉三等分的中间部分等等.去掉所有这些区间(邻接区间(adjacent intervals”之后剩下的部分(全长为l)是Cantor完满集(Cantor perfect set)(Cantor集(〔饭ntor set):Cantor三分点集(Cantorternary set);Cantor密断统(Cantor discontinuum)). 它在实直线上无处稠密但有连续统的基数.尸典一拼二澳俏瑰今 从拓扑的观点，Cantor集是零维、完满、可度量化的紧统(即没有孤立点);这样的紧统在同胚下是唯一的.实直线的所有有界、完满，无处稠密的子集都是相似集.Cantor集同胚于两点空间D的拷贝的可数积D农0，且是拓扑群z梦。的空间.cantor集在两种意义下是万有的:l)首先，任一具有可数基的零维正则HauS-dorff空间同胚于Cantor集的子集;2)其次，任一可度量化紧统是Cantor集的连续象(A月e双断网阳B定理(Aleksandrov thcorem)).这个定理表明二进紧统理论的开始，并且从泛函的观点看，许多紧统彼此相似.特别地，所有完满紧统具有典型开集的相同的Boole代数.存在从Cantor集到紧统上的特殊映射，依此可证明两个任意完满可度量化紧统上(例如，在区间上和正方形上)的所有连续函数的Banach代数是线性同胚的.进而，Cantor集和它到任意可度量化紧统上映射的可能性是在拓扑学和函数论中构造许多有趣例子的基础.其中之一是所谓Cantor阶梯(Cantor stair-case)，它是【0，l]到自身上连续单调映射的图，它的导数是有定义的并且在一个测度为1的开集上等于零.虽然标准Cantor集的测度为零，但存在单位区间上无处稠密的完满紧统，具有任意接近于1的测度.【补注】上面第一直线构造的推广，导致Cantor攀华(Cantor一like sets)，见【A2」.~集[F哩赞二赢组被的实区间[0，‘飞的士
　　

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