补充资料：累次积分

累次积分
repeated integral

累次积分[代伴a回integral;n.Top。诫，。Terp朋] 一个对不同变量依序所作的积分，即形如 支}，{)f(一)过·〕d，、1)的积分.函数f定义在空间X与Y的直积XxY中的集合A上，在X与Y中分别给定6有限测度群、与群，，且具有完全性;集合A(y)={x:(x，y)任A圣CX(A中“水平”为y〔Y的“截口”)是关于召，可测的，而集合A，(A在Y上的投影)是关于拼，可测的·在A(y)上的积分是对热作的，在A，上的积分是对群，作的.积分(I)亦记为 丁d夕于，(二，，)、、， 月y乃(y)重积分(mul石Ple integrul)(在一定条件下)可化归为累次积分. 设函数.厂在集合ACXXY上对关于测度拜二召，x召，是可积的，且用取零值的方法使函数延拓于整个空间X xy，则累次积分 丁、，了f(二，，)‘、，丁“、丁厂(二，，)、， Y XX》尸存在，且相等: 丁己，丁、(*，，)J二一J、*丁，(二，，)、，(2) 》，X XY(见凡帅面定理(Fubinithe。比m)).左端积分的外层积分实际上是在集合A:一{夕:夕6A少，拜，A(y)>o圣上进行的一特别危一对点少任A井集合A(卫立是关于拼，可测的一般地说，不能在全部集合A，上来作此积分，因为当集合A是关于尸可测时，集合A、关于拜，可以是不可测的.类似地，单个集合A(y)(y‘A，)关于拼、也可以是不可测的.另一方面，只要集合A关于召可测，集合A:关于产，总是可测的. 上述关于累次积分可交换积分次序的条件只是充分而非必要的;有时，累次积分可交换积分次序时，相应的重积分并不存在.例如，函数f(x，y)二x夕/(x’+夕’)’，x’十夕’>o，f(o，o)二o，其累次积分是相等的: +1干1十l+牙 丁、x丁，(x，，)、，一丁‘，了、(:，，)、、一。， 一1一!一t一1但重积分 丁Jf(二，，)、二、， }艾{，}y}“不存在.然而，如果积分 丁J，丁{了、二，，)}、二或了己二了，f(、，，)!己， Y X XY中至少有一个是有限的，那么函数厂在xXy上可积，且式(2)成立. 在内层积分是Sdeltj韶积分(Stieltjes integral)，外层积分是Lebesg此积分(Lebes即e integral)的情形下，下述关于积分交换次序的定理成立:设函数g(x，夕)对一切x‘[a，b」是关于[c，d】中的夕可和的，且对fL乎所有的夕〔Ic，dl，g(x，夕)是〔a，bl上的有界变差函数，又假定对一切给定的y值，g在【“，b]上的全变差不超过某个【。，d1上的非负可和函数，则函数仁。(x，，)d，是关于变量/在[a，bj上的有界变差函数，且对la，b]上的任一连续函数f，有公式i己/i，(·)己，夕(·，夕)一)厂(·)己·〔了。(一)、?」·【补注]除“累次积分”称谓外，也称叠积分(iteratedintegrai)(例如见[All，[AZI).

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。