补充资料：主理想环

主理想环
principal ideal ring

　　【补注】上文中的斜多项式与微分多项式环的两个例子是一般斜多项式环F{袱S，d]的特殊情形、这里S是F的自同构，d是一个S导子(s.deri姐tion)(即d(ab)二a，d(b)+d(a)b)，乘法由ax二xa，+d(a)定义这个环是一个主理想环.如果S是使得尸笋F的一个同构，则此环是右主理想的，但不是左主理想的. 含有非零因子矩阵的有限矩阵环的左(和右)理想也是左(右)主理想.上面所讲的关于模的性质，对于矩阵也有(原始的)翻译，即这种环上的每个矩阵都等价于对角形矩阵. 裴定一译赵春来校主理想环〔洲.妇叫i血川d魂;rJIa明以“那幼O8劝几-u01 具有么元的结合环R(见结合环与代数(出洛。c必-tiw nll那and algebrds))，其所有的右理想与左理想都是主理想，即分别具有形式aR和Ra，a〔R.主理想环的例子有整数环，域F上的多项式环F(x)，具有自同构S:F一，F的域F上的斜多项式环(nllgofskew卯l”刃m血】5)F(%，S)(F(x，S)中的元形如艺:·，.，丫a，，“，〔F，加法是通常的，乘法是由方程“x=x丫，a〔F以及结合律与分配律所定义)，具有导子:F，F的域F上的微分多项式环(nng ofdif-fe耐al pol”IOm画蛇)F(、，，’)(’送下环函初。公一。、，。，，aeF的元组成，加法由通常方式给出，乘法是由方程“x二xa十a’，aoF决定).没有零因子的主理想环称为主理想整环(prillciPalj压汾1 d0lruin).交换主理想环是主理想整环与一个具有唯一幂零素理想的主理想环的直和(见幂零理想(n口po往”ti改川);素理想(p川1℃id份1)).如果R是一个主理想整环，那么R中两个非零元“和b有最大左公因子(a，b)和最小右公倍元ta，划，它们被定义为满足下列方程的元素: a只+右R二(a，吞)尺;a尺自bR二「a，b]R.元素(a，b)和ta，b]除差一个右可逆因子外是唯一确定的.主理想整环是唯一因子分解整环.一个主理想整环的全体双边理想构成一个具有零元和么元的交换乘法半群(~一grouP)(环的极大理想是这个半群的自由生成元). R上具有有限秩n的自由模M的子模N是一个秩k感n的自由模，在模M和N中可以选取基al，，、·，a。和bl，一，b*，使得b，=e，“。(l延主续k)，这里e，。R，且当‘　　

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