补充资料：序环

序环
ordered ring

序环「伪deredril毛;扣op:加，。一oe Ka加吐.0」，偏序环(Part运lly otdered nng) 一个环R(不一定是结合的)，按加法是一个偏序群(P队石a勿ordered grouP)，并且对任意a，b，c‘R，不等式a簇b和c)0蕴涵ac蛋bc和‘“(cb.对于平凡序，每一个环是一个序环.作为序环的例子，可以取一个序域(ordered 6eld);一个集合X上的实函数环，其中f簇g意味着对所有x任X，f(x)簇。(x);或一个序环R上的矩阵环·其中定义}{。ij}}(}Jb、，}l，如果对所有i，了，a‘z(b。·如果R是一个序环，那么集合 p={x:x‘R，二)0}称为它的正锥(卯sitive cone).一个序环的正锥完全确定了它的序:x(y，当且仅当夕一x〔尸.环R的一个子集尸可以作为某一个序的正锥，当且仅当 尸自(一尸)={O}，p+p任p，并且尸尸生尸·方程尸口(一尸)=R等价于序为全序(见全序集(to-tallyo玫lered set)). 一个序环若是全序的或格序的，则相应地被称为全序环(totally ordered nng)或格序环(httice一。rd·ered血g)(亦见A川血说des环(Arcl五珑以北an nng).格序环是分配格，并且它们的加群都是无挠的(见格序群(httice ordered脚uP)).结合环论中的，特别是根论中的某些问题，在结合格序环中有类似问题.容许一个格序环结构的环类不能公理化.如果a，b，c都是一个格序环的元素，并且c)O，那么下列关系成立: (a Vb)c)ac V be，e(a Vb))ca V cb， (a八b)c成ac八bc，e(a八b)(ca八cb. 格序环中的理想，若又是其加群的凸子群(con-vex stlbgrouP)，则称为l理想(卜ideal).由一个l理想导出的商环可以用自然的方式变为一个格序环.同态定理成立. 一个格序环R称为函数环(丘川ctional nng)或f环(f一力鹅)，如果它满足下列等价条件中的任意一个:l)R同构于全序环直积的一个格序子环;2)对任意a，b，x任R，蕴涵式(a八b=0并且x)0)‘(a八bx二a八xb二0)成立;3)对R的任意子集X，集合 {，:，CR，丫xoxx八夕=o}是一个l理想;4)对任意“，b6R， (a VO)(b VO)八(一a VO)= “(b VO)(a VO)八(一a VO)=0.条件4)表明f环形成表征为{+，一，0，·，V，八}的一个簇.在这个条件中，每个方程都不是另一个方程的推论.不是每一个f环都能嵌人一个有单位元的f环中.如果a，b，c都是一个f环的元素，并且c>0，那么有 (a Vb)C=ac Vb。，c(a Vb)二ea V eb， (a八b)e=ae八be，e(a八b)二ea八eb， (aV(一a))(bV(一b))二abV(一ab)， aZ)0.以及蕴涵式(“八b=O)”(ab=O). 具有正锥P的序环R的序可以扩充为一个全序，使得R变成一个全序环，当且仅当对R的任意有限子集“，，…，a。，可以选取。，二1或一1，使得在由尸和元素。:a，，…，。。a。生成的半环中任意两个非零元素的和不为零.特当p二{0}时就得到环上有全序可能性的一个判别准则.

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