二项式定理，又称牛顿二项式定理。它由艾萨克·牛顿于1664、65年期间提出。定理指出：

，其中（二项式系数）。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

二项展开式的通项即为：

其i项系数可表示为:，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(pascal's triangle)

二项式定理

二项式定理

二项式定理﹝binomial theorem﹞是指﹝a + b﹞n在n为正整数时的展开式。﹝a + b﹞n的系数表为：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

………………………

在我国称为「贾宪三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载於杨辉的《详解九章算法》﹝1261﹞之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》﹝1427﹞中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。

二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。