补充资料：相交理论

相交理论
intersection theory

　　理论，即数域的整数环上的平坦概形.再加上在无穷远处的一些附加的数据([A3〕一【A6〕).相交理论【111妇欲比ond幽ry;nepeee”en丽Teop“a]，代数簇上的 代数子簇和闭链的相交理论.设X是域k上的n维光滑代数簇(al罗bmic Variety)，Y，Z是x的余维数分别为i与j的子簇.如果Y和Z横截地相交，则Y自Z是余维数为i+j的光滑子簇，记为Y·2.在一般情形下，二元组(y，Z)构成了一个余维数为i+j的代数闭链(司罗brajc苹七)Y·2.这个定义的基本思想是:Y和Z被在某种意义下等价的闭链Y’和Z’所取代，使得Y’和Z’处于一般位置，然后取Y’和Z’的交.当然闭链Y’·Z’也是在等价意义下定义的. 设才(X)是X上余维数为i的代数闭链的有理等价类的群，设A(X)=。‘;。才(X).周炜良的相交理论包含下述构造: a)对于每个光滑拟射影簇X.在A(X)上构造一个分次交换环结构; b)对于每个态射f:x~Y，构造一个分次环的同态厂二A(Y)~A(X)(逆象); c)对每个真态射(ProPerrr幻rp比m)f:X~Y，构造一个djn1y一d而x次的群同态f.:A(X)~A(Y)(正象) 在这三种构造a)，b)，c)之间有一些关系式，其中最主要的是: 投影公式(proJ以为on fonnula):对于真态射f:X~y以及闭链:〔A(X)，刀任A(Y)， f.(“·f‘(刀))=f.(:)·刀; 对角约化(代过“范。nto业d运gO耐):如果△:X~XxX是对角态射，。且:，口任A(X)，则:·刀=△’(:x口). 此外，存在自然同态c!:P ic(X)一且’(X).利用它可以建立在周环内取值的陈(省身)类(ChenlcL巧S)理论，特别是陈(省身)特征标(C记m cllan Icter) ch:K(x)~A(X)⑧Q，这是环同态. 不难确定正象同态八.设zCX是不可约子簇;当dimf(Z)<山mZ时，f.(Z)=0，当山Inf(Z)二山mZ时，f.(Z)=d·f(Z)，这里的d是Z在、f(Z)上的次数.利用线性性质，这个定义可扩展到闭链以及闭链的类.而逆象同态f’则利用公式 f’(:)一尸·(rf·(Xx:))，归结到闭链的乘法，这里厂XxY~X是投影，r:〔XxY是.厂的图象.闭链相乘的定义分两步给出.首先设Y和Z是正常地(prol芜rly)相交的X的不可约子簇(即y自z的余维数等于Y和z的余维数之和).对交集Y自Z的每个分支评可以规定一个正整数i(Y，z;评)，即j动部相交重数(1以川m司tiP址ity ofthejntel名氏tion).1(Y，Z;W)有几种定义，例如Serre的Tor公式: ‘(y，z;体)=艺(一1)‘z(肠r厂(通/。，姓/b))， k)0这里A是局部环岁x，”，a和b是y和Z的理想，l是A模的长度.然后令 Y·z二艺i(Y，z;体)·评， W这里W取遍Y自Z的不可约分支. 第二步是周(炜良)移动引理(Chow mo劝119le~):对于拟射影簇X上的任何Y和Z，存在与Z有理等价的闭链z’，使Z’与y正常地相交;而且y·Z‘的有理等价类与Z’无关. 射影簇的情况是最令人感兴趣的.把正象函子应用于结构态射X一，SpeCk，就得到映射deg二A(X)一2.从本质上说，闭链的次数说是它的零维分支的点数.把乘法与次数复合后就可从数值上度量相交例如当Y和Z有相补的维数时，就可得到Y和Z的相交指数(代数几何学中的)(interseCtionindex(in alge-肠刁ic脚metry))(相交数(illtel习eCtjon Ilunlber)).类似可得刀个除子D、，一，D。的相交指数: (D!，一，D。)=deg(D，，一，D。). 举例来说，射影空间尸”的周(炜良)环(Chowring)由超平面H的类所生成，这里(H”)=(H，…，H)=1.因此当D，，…，D。是次数为d，，一，d。的超曲面时，(D，，一D。)=d、‘二d。(玫刀〕ut定理(氏加ut tlleo-1℃m)).k维射影簇yC尸”的次数定义为Y与具有相补维数的线性子空间Pn一人的相交指数;如果簇Y和z横截地相交，则Y自z的次数是Y与Z的次数的乘积. 对于正常地相交的有效除子.(D，，…，D)，)0，但在一般的情形并不一定如此.例如对于曲面上的例外曲线E(见:例外子簇(exceptio耐sub论riety))，(五，E)二一1. 其他一些理论也会具有周环理论的许多形式性质:以代数等价或数值等价为模的闭链，K理论，奇异上同调理论H’(，Z)(在k=C的情形)以及l进上同调(l成沮dic cohomo10gy)理论(亦见叭阳11上同调(W己11cohomofogy)).这就导致了相交理论的公理化构造:使得每个簇x(取自某个范畴)都对应到一个环C(x)以及同态.f’与.f.，后者又通过投影公式或对角约化公式那种类型的公理相联系(见〔1」)不同的相交理论之间的比较导出了有用的结果.例如在复数的情形，基本闭链(n田山nlental cwle)的概念使人能定义相交理论的同态A(X)~H‘(X，Z)，后者又使人能应用超越方法.把K理论(K-t】Icory)与周理论相比较又导致Rie-nlnn.Roell一GroUlendieck定理(见RM改n..一Rodl定理(Riemann一Roch tl以)renl)).在这里单项变换的相交理论起着重要作用(【2]，【6」).相交理论的另一)剑月与sch-ubert的几何演算的基础有关(f 31).这个几何学分支可以被看作为一些簇的周环理论，这些簇对几何对象作了分类:O笼巧511飞In〔流形，旗流形等【补注】W .Ftllton对奇异簇定义了周群(【Al」).FI习ton和R .MacPhe巧on又发展了更精细的相交理论:给出了x上的闭链Y和z，可以给出A(y门z)的完全确定的元素X·Y(【A21). 另一个新发展是纂水攀(arit加netic论riety)的相交
　　

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