补充资料：对称群的表示

对称群的表示
representation of the symmetric groups

　　【补注】令R(S二)是。个字母上的对称群S，的所有复不可约表示生成的自由Abel群.现考虑直和 R一愚R(“。)，R(“。)一Z·可定义R上H呵代数(HoPf algebra)结构如下.首先作乘法.令p和a分别是S。和s。的表示.作张里积(tensor product)，定义S。xs，的表示(g，h)l~户(g)⑧a(h).自然地，S。xs。是S。+，的子群.现在定义R中p与口的积为到S。十.的诱导表示(址duced rePresentation卜 p。二Ind交:姆，(p⑧。).对余乘法，要用到限制.令p是S。的表示.对每个p，g任{o，l，…}，尸+叮=n，p到S，xs;的限制就得到R(S，xs;)二R(S，)⑧R(S;)的一个元素.R的余乘法就定义为 “万革。Res要:、、、(。).将z与R(S。)等同就定义了单位映射。:z~R，定义s:R~z，在R(S。)一z上。二恒等映射，当m>0时，s(R(5.))二0，这叫做增广映射.有一个定理断言(m，拜，e，日在R上定义了分次双代数结构.R上还可有对映体(耐ipede)而成为分次Hopf代数(脚d已HoPfal罗bla). 该H叩f代数可明白地描述如下.考虑无限个变量c:，i二1，2，…，c。=l的交换的多项式环(rillgof polyl刃而als) u=z[e:，eZ，一1·由“·’一，革。“，⑧“，及余一单位。，。(e。)=l，。(e。)二0，当n)1，就给出了余代数(co一司罗bra)结构.也存在对映体，使U成为分次Hopf代数.也许对称群表示论中的基本结果是，作为HO试代数R与U是同构的.由于 AutH，f(U)=Z/(2)xZ/(2)，该同构近乎唯一(【All). R的单个分量R(S，)本身在表示的积:p，引~px。，(px。)(g)=p(g)⑧。(g)下也成为环.这样在R上定义了第二种乘法，它在第一种乘法上是分配的，而且R在Z上余代数的范畴中成为环对象.这种对象已被称为Hopf代数([ A61)，并且它们中有不少是白然地出现在代数拓扑学中.环U”R在代数拓扑学中是作为复K理论的分类空间(山ss访如gsPace)Bu的上同调H‘(Bu)出现，且存在“自然而直接的同构”R，H‘(BU)，(〔A3』).(这就说清楚了上面U中所用的记号:“c，”代表陈(省身)类(Chern ehss)). 在R=U上还有内积:是P，叮中公共的不可约表示的数目，且对于该内积R是(分次)自对偶的.特别地，乘法和余乘法是互为伴随的: <户，，:)=<拜(p)，a⑧:)，这与Frobel油叨互反性(Robenius rec币rocity)是相同的，见诱导表示(让duced Iepreseniation). Witt向量的函子的表示对象R(w)是代数u的范畴的核心对象，它在形式群论中起重要作用“AZJ).但至今在这种表现形式下还未找到自然而直接的同构来联系R及U二R(W). 环U也赋以又环(几一nng)的结构，实际上它是一个生成元上的泛只环(俪versal兄一扭〕g)，U(A)，(【A41)，并且它给出自然同构U(A)“R(评)，一些细节可见又环. 最后，在①R(S。

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