1) Tseng-metric generalized inverse
Tseng度量广义逆
2) Metric generalized inverse
度量广义逆
1.
Perturbation of Moore-Penrose Metric Generalized Inverse of Linear Operators in Banach Space
Banach空间中线性算子Moore-Penrose度量广义逆的扰动
2.
In this paper,we used the concept of metric generalized inverse,gave the characterization and construction of constrained extremal solutions of T(x)=h in the set of extremal solutions of L(x)=y.
运用线性算子的度量广义逆概念,在L(x)=y的极值解集合中,给出T(x)=h的约束极值解的精确刻画。
3.
Without the assumption that Banach space Y is reflexive and T is a densely defined linear operator with closed range from Banach space X to Y, it is proved that the metric generalized inverse of linear operator has closed convex range set-valued mapping by means of geometry of Banach space.
在Banach空间Y无自反和从Banach空间X到Y的线性算子T无闭值域和稠定的假定下,利用Banach空间几何方法证明了Banach空间中线性算子的度量广义逆是具有闭凸值的集值映射,建立了该度量广义逆的存在性、唯一性和等价表达式,并给出了此表达式的一个应用示例。
3) Moore-Penrose metric generalized inverse
Moore-Penrose度量广义逆
1.
Without geometry assumption on strictly convex space,by means of methods of geometry of Banach space,the necessary and sufficient conditions for the existence, uniqueness,minimum property and linearity of the Moore-Penrose metric generalized inverse T~+ of linear operator T are given,and some properties of T~+ are investigated.
在无空间严格凸的几何假定下,利用Banach空间几何方法给出了任意Banach空间中线性算子T的Moore-Penrose度量广义逆T~+的存在性、唯一性、极小性和线性性的充要条件,同时还讨论了T~+的一些性质,这些本质地将文献[8]的最近结果从严格凸Banach空间拓广至任意Banach空间。
4) generalized metric
广义度量
1.
The relation between generalized metric spaces and posets is treated.
广义度量空间和偏序集都具有函数空间。
2.
A generalized metric dist is defined on convex sets.
定义凸集上一种广义度量ｄｉｓｔ，给出其拓扑性质以及业ｄｉｓｔ与熵的关系。
5) general Hartley measure
广义Hartley度量
1.
In view of the shortcomings of current approaches to measure uncertain information,we develop general Hartley measure for fuzzy sets on general range through information-filtering parameters and measurements abo.
本文在指出现有的度量不确定信息方法不足的基础上,通过信息过滤参数和水平截集的度量值,对具有测量体系的一般论域上的模糊集,建立了广义Hartley度量,讨论了模糊数的广义Hartley度量的基本性质,同时给出了几类特殊模糊数的广义Hartley度量计算公式。
6) Generalized metric addition
广义度量加
补充资料：广义逆矩阵
逆矩阵概念的推广。若A为非奇异矩阵,则线性方程组A尣=b的解为尣=A_1b，其中A的逆矩阵A_1满足AA_1=A_1A=I(I为单位矩阵)。若A是奇异阵或长方阵,A尣=b可能无解或有很多解。若有解,则解为尣=Xb+(I-XA)у,其中у是维数与A的列数相同的任意向量,X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵,用Ag、A_或A等符号表示,有时简称广义逆。当A非异时,A_1也满足AA_1A=A,且。故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。
1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵 X，它满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*＝AX；④(XA)*＝XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。当A非异时，A_1也满足①～④,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组A尣＝b的最小二乘解中,尣＝A+b是范数最小的一个解。
若A是n阶方阵,k为满足的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在惟一的n阶方阵X，满足：
(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X； (3) AX=XA。通常称X为A的德雷津广义逆矩阵，简称D逆,记??Ad,A(d)或AD等。虽然它和线性代数方程组的解无关，但它在线性差分方程、线性微分方程、最优控制等方面都有应用。例如,设A、B是n阶方阵,齐次差分方程,如果存在一个数λ，使 存在，则它的一般解为
式中q为任意n维向量；;。
根据实际问题需要还定义了其他各种类型的广义逆矩阵,如网络理论中用到的博特-达芬逆矩阵等。一般说来，它们都具有下列一些性质：当A非异时,广义逆矩阵就是A_1；广义逆矩阵必存在;广义逆矩阵具有逆矩阵的某些性质(或适当修改后的性质),如(A_1)_1=A,(A_1)*=(A*)_1等等。
广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。1951年瑞典人A.布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在惟一的X=A+满足前述性质①～④，并以此作为 A+的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称A+为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。
广义逆的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的特殊方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵,记作,有满秩分解A=F·G,其中，则,即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。
若A有奇异值分解A=UDV*,其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，是m×n阶矩阵，是r阶对角阵，对角元是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根）,则A+=VD+U*，其中是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h,于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。
设λ1是AA*的最大非零特征值,若0<α<2/λ1,则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时,xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,...,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k＝2,3，...,n),则
，式中
；
；
1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专著和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。
参考书目
S.L.Campbell and C.D.Meyer，Jr.，Generalized Inverses of Linear TransforMations,Pitman,London, 1979.
M.Z.Nashed, ed.,Generalized Inverses and Applications,Academic Press,New York,1976.
1955年R.彭罗斯证明了对每个m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵 X，它满足：①AXA=A；②XAX=X；③(AX)*＝AX；④(XA)*＝XA。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。当A非异时，A_1也满足①～④,因此M-P逆也是通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组A尣＝b的最小二乘解中,尣＝A+b是范数最小的一个解。
若A是n阶方阵,k为满足的最小正整数（rank为矩阵秩的符号），记作k=Ind(A)，则存在惟一的n阶方阵X，满足：
(1) AkXA=Ak；(2) XAX=X； (3) AX=XA。通常称X为A的德雷津广义逆矩阵，简称D逆,记??Ad,A(d)或AD等。虽然它和线性代数方程组的解无关，但它在线性差分方程、线性微分方程、最优控制等方面都有应用。例如,设A、B是n阶方阵,齐次差分方程,如果存在一个数λ，使 存在，则它的一般解为
式中q为任意n维向量；;。
根据实际问题需要还定义了其他各种类型的广义逆矩阵,如网络理论中用到的博特-达芬逆矩阵等。一般说来，它们都具有下列一些性质：当A非异时,广义逆矩阵就是A_1；广义逆矩阵必存在;广义逆矩阵具有逆矩阵的某些性质(或适当修改后的性质),如(A_1)_1=A,(A_1)*=(A*)_1等等。
广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯·诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣。1951年瑞典人A.布耶尔哈梅尔重新发现了穆尔所定义的广义逆，并注意到广义逆与线性方程组的关系。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在惟一的X=A+满足前述性质①～④，并以此作为 A+的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称A+为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。
广义逆的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的特殊方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵,记作,有满秩分解A=F·G,其中，则,即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。
若A有奇异值分解A=UDV*,其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，是m×n阶矩阵，是r阶对角阵，对角元是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根）,则A+=VD+U*，其中是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h,于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。
设λ1是AA*的最大非零特征值,若0<α<2/λ1,则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时,xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,...,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k＝2,3，...,n),则
，式中
；
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1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专著和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。
参考书目
S.L.Campbell and C.D.Meyer，Jr.，Generalized Inverses of Linear TransforMations,Pitman,London, 1979.
M.Z.Nashed, ed.,Generalized Inverses and Applications,Academic Press,New York,1976.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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