补充资料：正则极值曲线

正则极值曲线
regular extremal

正则极值曲线【r电.血r extr。砂目;pery几:pna，，二eTpe-Ma。月，非奇异极值曲线(non一singu】ar extre训d) 一条极值曲线(extr日江以】)y(x)，在其所有的点 上以下条件成立: F，，，，(x，夕(x)，夕‘(x))笋0，(l)这里F(x，y，y‘)是出现在被极小化的泛函 工2 ，一丁;(二，，，，，)泛二 二.中的被积函数.像任一极值曲线一样，正则极值曲线按定义是Euler方程(E妞七r equation) ，d_ F、.一-井-F二=O 一y dx‘y‘“的一个光滑解.在极值曲线上使得(l)成立的点称为手则枣(re州ar point“)·已知在每一个正则点上，极值曲线y(x)有连续的二阶导数y“(x).在正则极值曲线上，二阶导数是连续的.对正则极值曲线，Euler方程 凡一凡二一凡口‘一凡丫y”=0可写成以下形式(即对最高阶导数解出): 夕“=f(x，y，y‘). 正则性质(l)直接与必要的Legeud碑条件(Lc-罗加比condition)(按强形式)相联系，按此条件在该极值曲线的所有点上以下不等式成立: Fy，，，(x，夕(x)，夕‘(x))<0.当证明极值曲线y(x)可包含在围绕它的一个极值曲线场中时，实质上用到了正则性.如果条件(1)即使在一个点上受违背，则该极值曲线不总是被包含在一个场中.包含极值曲线于一个场中的这个条件是成为极值曲线的充分条件之一 正则极值曲线的以上定义是对变分法最简单问题给出的，它涉及依赖于一个未知函数的泛函.对依赖于”个未知函数的泛函， ，一Jr(二，，:，…，，。，夕;，…，，;)己二，正则极值曲线是在其每一点n阶行列式IF，;，，}异o(2)的一条极值曲线. 关于条件极值的变分法的某些一般问题(见E泊lza问题(Boha Problem”中，正则极值曲线以类似方式定义，除了在(2)中必须用Lagr叨ge函数(肠即叨罗jbn‘如n)L代替F. 使得正则条件((l)或(2))在其某段的每一点上被违背的一条极值曲线称为奇异极值曲线(s泊测arextre扣田)，且该段称为奇异模态的段〔sec石on ofsin-酬时reg仃犯)，对奇异模态有一些必要条件，补充熟知的经典极值必要条件(见最优奇异模态(oPtilnalsin-gular regme)).【补注]区域D中一族曲线称为曲线场(nekl ofcur-ves)，如果对D的每一点，恰好存在该族中一条曲线通过此点.关于变分法中的场论(6eld theory in theealculus of variations)和极值曲线场(6dds of ext:e-叮以15)的作用的描述见「A2」和极值曲线场(extr。比曰1fie】d).

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