补充资料：直和

直和
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直和I‘比d~;np二，a:cyMMa] 广泛用于一些数学结构理论的一种构造方法，这些数学结构形成范畴且类似于Ab日范畴(Abelian cate-即ry).在非A比1范畴情形，直和通常称为离散直积(disC代tedi众军tproduco.令吸是含单元素(零)子系统的同一种代数系统的类.级中代数系统犬(i任I)的直和或(离散)直积是直积(山氏戈t product)x=几。，兀的子系统，它由所有满足下面性质的函数f:I~X组成， 的全部值除去有限个外皆属于相应的零子系统.直和可用下述记号之一来表示: 了戈，了戈馨戈雳戈当只有有限项时，可用记号: 戈+二‘十戈.由定义即可知，在有限项时直和与直积是一致的. 对直和x=几。，犬的每一项可以有一个典范嵌人qi:戈~X，对于x任不，确定函数马(x):I~X，这里qt(x)在变量i上取值x，在别处取值为零，由此能说直和包含其每一项.在O群的情形(特别地对群、Abel群、向量空间和环)我们能给直和一个“内蕴的”刻画.0群G是一族Q子群叹(i〔I)的直积，如果:a)G由q，i任I，生成;b)每个叹是G的理想;及c)对每个主，尽与其余理想生成的0子群的交是平凡子群.也参见多算子群(m山ti一opelator gro叩). 每个向量空间是一维子空间的直和.每个自由Abel群是无限循环群的直和，每个有限循环群是素数幂阶的循环群的直和.每个具有单位元且对理想满足极小条件的半单结合环是有限个适当的有限维向量空间上全线性变换环的直和. 在群论、格论和范畴理论中直分解的同构问题已有广泛的发展.它的起源是关于具有主列的群的直分解中心同构的Re浏众一Sch叮idt定理(见Kn口一R倒.k-Sd.n峨定理(Kru]1一Rer压水一Schi刘dtth印旧11)). 范畴理论中，与积的概念相对偶就是余积(cop-找心‘t)，它有时称为直和.M.川.U~ko撰【补注】正如已经指出的，直和也称为离散直积(见直积(din戈tp代心uCt)). 在范畴论中，直和(d运戈t sum)或余积(coPI议luco是由泛性质来定义的:在某范畴巧中，给定对象X，，沁1.直和Y=g‘Xi是C的对象，同时有态射“‘:戈~y使得对毯的每个对象z和一族态射尽:X‘~z，有唯一的态射下:Y~z满足下断=口‘，丫161，在许多范畴中，例如Abel群范畴和环上的模范畴，范畴的直和就是由上面所说的构造法给出的.

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