补充资料：值分布论

值分布论
value-distribution theory

值分布论[v曲犯一distribo“叨theory;paenpe八e月e.“，3Ha，e“““TeoP“”」，Nevalllill斑l理论(Ne份nlinm theo-ry) 由R.Ne坡田11仙a于20世纪20年代开发的关于1/3时发散.对于下级又簇1/2的亚纯函数f(:)，满足占(a，f))l一c“7T之的亏值“的存在性影响f的渐近性态:这样的函数不可能有别的亏值. 值分布论的反问题.在多少有点简化的形式下，能以下述方式表述任一亚纯函数类芡的值分布论的反问题.对扩充复平面中某个序列{a*}的每个点a*指定一个数占(a*)(0<占(a*)0}称为f(z)的正离差集:D(f)三0(f).已知如果烈习是有限p级整函数，则 「二，，。___，，。 。(二，。)一{居言书一，若0<，、，/2， l““，若。)1/2. 于是就有下述结论:如果亚纯函数.f(习具有有限下级又，则a)Q是至多可数集;b)对每个“， f二又~n l一，若O<又<1/2、 。了。子、成之sin兀又 〔兀兄，若“)‘/2;e)对任一义(1/2<仪(1)， 艺口“(a，f)蕊K(几，:)， (a)其中常数K(义，幻只依赖于又和:;d)Q(f)任V仃). 再则，存在有限下级亚纯函数f，使得集合。(f)具有连续统基数.对任一亚纯函数f，集合Q(f)(类似于V(f))具有零对数容量.下述定理刻画了占(a，f)与刀(a，f)之间的差别:对任一又(0簇元<的)存在下级为义的亚纯函数f;(:)，使对某个a有 占(a，j)二0，刀(a，f))1. 亚纯函数在P让ard和E泊rd意义下的例外值.a称为亚纯函数f(习的氏ard意义下的例外值(exceP-tional value)，如果f(:)在{}:}<的}中的a点数亚纯函数的值之分布的理论(见11」).此理论的基本问题是研究区域G中使函数、(习在其上取预先指定的值w=“的点(称为“点(a一point))构成的集合卜。}，这里。。c口{，厂 基本概念.Nevanlin几，理论的基本内容可通过取、，”f(:)为开复平面C上的超越亚纯函数(此ro-morphic fune如n)的情形加以说明.以n(t，a，f)记f(z)位于圆盘之l:{短日中的“点数(计及重数).再对每个a〔C，定义 N(;，a，厂)一丁【。(:，a，f)一n(o，a，，)}d。:+ +n(0，a，f)Inr， 。(，，。，、)一。「;.二、一)一1.。，二. LJ一a」 2介 m(:，二，少)一牛f知·}f(:。!“)}}J。， 2兀J一，J、一，.J一。， () T(r，f)二。(r，二，f)+N(:，二，f). T(:，f)称为.f(习的Nevanlinna特征〔Nevan-hana ellamcteristic)或Nevarlbnna特征函数(Nevall-linna clla田cteristic fonction).函数m(r，a、j)描述当{川~的时厂(:)趋于“的平均速率，而函数N(，，a，f)描述f(习的a点的平均分布密度.由下述定理可得Nevaniinna特征T(r，f)的一个几何解释.以F，记f(:)的Ri~曲面(Ri~sur-face)对应于圆盘{}:1簇;}的部分，设二A(:，f)是曲面F，的球面面积，则 T、:，f)一J、(:，。dln，+O、，。(;一①，T(:，.f)可用来确定f(:)增长的级p及其增长的下级义: ，一碗型平卫、，、一皿竺孕甲‘. ，二一己inr”’节三坛二inr Neva们lillna第一基本定理(Nevanlinna first mainthe~):当r一的时，有 。(r，a，f)+N(r，a，f)二T(r，f)+O(l);这表明，不计r~的时的一个有界项，上式左边取常值T(。，f)〔不管a取何值).在此意义下，亚纯函数f(z)的所有值w是等价的.函数N(r，a，f)当r~的时的性态具有特殊意义;在值分布论中它被用于函数N(;，a，f)和m(r，a，f)的增长相对于特征T(r，f)的增长的下述定量量度: 一N(r .a.f) 占(a，f)=1一hm‘’:’，’一叉/= ，二一乱T(。，f) _1、竺业习红立-<1 ‘云汽后T(r，f)二、_、1;_N(r，a，f)_ △(a，厂)=1一卫二卫二去子上长匕= 一、.-一T(:，f) _孤。(r，a，f)、， ，二一;T(r，f) 量占(“，f)称为.f(习在“处的Nevanlinna亏量(Nevanbllna defect)，△(a，f)称为f(:)在a处的Valiron亏量(Valiron defeet).令 D(f)二{a:石(a，j)>0}， V(f)二{a:八(a，f)>0}，D(/〕称为f(:)的Nevanlinna意义下的亏值(见亏值(defective value”集，而V(f)称为f(:)的从山-ron意义下的亏值集.关于f(习的亏量大小和亏值集的Neva刀lillna定理(Nevanlillna theorelll)如下:对任何亚纯函数./(:)，有a)集合D(f)至多为可数;b)/(二)的亏量满足关系 艺占(a，j〕延2(l) (“)(亏量关系(defect rela加n)).(1)中的常数2是扩充复平面C日{二}的E日er示性数，而扩充复平面为/(二)的Ri~曲面所覆叠. 集合D(f)的结构.Nevanlinna关于集合D(f)至多为可数的论断不能再加强.事实上，给定扩充复平面中任一有限或可数点集E和任一值p(o0}，V(f)={a:△(a，.f)>o}，。(f)={a:刀(a，f)>0}. 抛物情形下关于占(a，tf)，△(a，f)和刀(a，f)的主要性质以及集合D(f)，V(f)和Q(f)的结构都可移植到双曲情形，但仅对于当/~1时T(;，j)(在某种意义下)急速增一长的那些函数.【补注】值分布论反问题(以比条中所述较为深刻的形式)的解属于D.Drasin(【AI」);对于整函数的反问题先前己为W.H.J.Fuche和W.K.Haylnan解决(见[2]，第四章).满足艺(。，。(a，.f)一2的有限下阶函数.厂的刻画也属于Drasin(【A2」).(2)中的和当戊=1/3时为有限是AW己itsn飞111证明的(【A3));先前Haylnan证明对仪>1/3此论断为真.另一方面，存在有限阶亚纯函数，使(2)中的和对每个。:‘，和任何有限下阶整函数(entlre fuJlction)f均收敛.事实上，按照H .y .APaKeJ’I，H早先的一个猜想，对于这类函数有艺〔口)【fogl/占(a，f)]一’<二.这或许是关于亏量尚未解决的主要问题. 关于多变量值分布论的详细讨论，见【A51和〔A7】中的论文 P.vojta于1986年前后([A6」)发现了值分布论的基本定理与来自Di叩h朋tus逼近(Diophan功℃appro范r我吐ion)的定理之间值得重视的类似性.设k是d次代数数域，BCk是一无穷子集.设S是k上的赋值(适当加以规范化)的一个有限集合，其中包括无穷赋值.所说类似性的指导原理在于，Ncvdn·llilna理论中r的集合代之以B，角0变成S的元素，而]f(r。’口){变成 Ilb}。.关于更完整的定义，见【A6}.类似于T(r，f)的是儿(b)=(l/d)·艺。109+{l吞l{.，，类似于m(r，a，f)的是m(a，b)=(l/d)艺。;、fogl}z/(占一a)i]。，而N(r，a，j)转为N(a，b)=(l/d)艺。，、fog+{JI/(吞一a)11。.于是第一基本定理变为N(a，b)+m(a，b)“h(b)+O(])，而这是代数数论(a】gebraic number theory)中关于高的一个熟知性质.也能引进一种亏量占(a)=腼“，。，m(a，吞)/入(占)，论断艺“‘*占(a)(2恰是关于代数数由k中元素逼近的Roth定理(Roth theo-reln). 多元亚纯函数值分布的类似转述导致Diop扯intus逼近和Diophantus方程领域中的一些令人极感兴趣的猜想.

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