补充资料：抽象代数

抽象代数
Abstract algebra

　　抽象代数(abstraet algebra)抽象代数是描述代数类型的一个术语，与近代代数和一般代数同义。它是从本世纪20年代中期以来发展起来的，并已成为现代数学的基础用语。以前的代数是高度计算性的，并且限于研究一般以实数及复数为基础的特定数系。与此相反，抽象代数是概念性的、公理化的，讨论的是非特定的任意元素集合的系统，以及满足已规定的若干公理的某些合成法。 把较老的矩阵论与较抽象的线性代数进行比较，就能清楚地看出较老的论述与现代的论述之区别。二者大致都是讨论数学的同一部分，前者用直接论述的方法，强调矩阵运算，后者用公理的与几何的观点，把向量空间与线性变换当作基本的概念而把矩阵当作较次要的概念。参阅“线性代数(1i near。1-gebra)、“矩阵论，，(matrix theory)条。 概貌抽象代数讨论若干重要的代数结构，如群、环与格。参阅“群论，’(group theory)条。 这种结构由一集合S组成，它的元素并未指定其性质，且在S上赋予了若干个有限重的合成法。如y为一个正整数，一个y重合成法就是使S中任意y个元的组(a，，aZ，…，ar)对应于S中唯一的元“(a，，aZ，…，外)。为了方便起见，也可考虑“零重”合成法，即选取S的特殊元。在S一G是群的情况下，我们有一个单一的双(~2重)合成法，它要满足几个称作群公理的简单条件。这时，我们通常把。(a，b)写成ab，或者写成a+b。如果群是可换的，即对所有的a，b有aJ(a，b)一。(b，a)。在环R的情况，我们就有两个双合成法，记作ab与a+b，它们要遵从一些叫做环公理的条件。 除内在地讨论代数结构外，讨论一个代数结构在另一个方面的作用也是有趣的。重要的例子是模的理论及它的特殊向量空间的理论。我们定义环R的左模为一交换群M，环R可作用在它左边，其含义为:给出一对元素(a，x)，这里a在R中，x在M中，那末它决定M中唯一元ax.假定模积ax满足模公理a(x+刃~ax+ay，(a+b)x=ax+b二，(ab)x=a(bx)，这里，a，b是R中的任意元，x，y是M中的任意元。 在代数结构的研究中，相当大的一部分可以用统一的方法来开展，而不必限定特殊的结构。但抽象代数较深的方面却要求对各个系的特殊化，其多样性在很大程度上可应用于数学的其他领域和物理学。代数结构的一般研究叫做泛代数。这里的基本概念是一个代数结构S到第二个结构S’内的同态，并且在S与夕的合成法集合之间有一个一一对应aJ”。‘，使得对于同样的r=o，l，2，3，…，。与。‘都是r重的。S到夕内的同态就是S到S’内的这样一个映射，使得对于S中的所有a、以及所有对应的合成法。，以有。

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