补充资料：平方根法

平方根法
square-root method

平方根法【明“田限一rootll长对加d;.知p绷OrO kOPu，Me-拍八1 解具有非退化的Herrnite阵A的线性代数方程组Ax=b的一种方法.当在计算机上执行时，在直接法中它是最有效的. 在一般情形，这个方法的计算格式是基于A的形式为 A=S‘DS(l)的因子分解，其中S是具有实正对角元的上三角阵，而D是具有对角元l或一l的对角阵.由(l)立即得到计算矩阵S和D的元素等，和峨，的递推关系: 4，“slgn{a，一乞}s*:!‘dk*}，1 、，，=!a。，一乙15*，l‘d**1，味(2、 “一》瓦s‘d‘;} 6’，=—，j>‘·} 一:，、d’“{在进行因子分解(l)后，求原方程组的解化为对具有三角阵的两个方程组S’Dy=b和Sx二y的逐次求解.在这方面，平方根法和解方阵组的大多数直接法的矩阵求逆过程是相同的(见Ga曰法(C恤u骆nleth-od)). 在实数情形，当A是对称阵时，格式(2)与因子分解A=STDS相对应，其中S是实阵，而且有所简化.当A是正定矩阵时，格式(2)有实质的简化.这时，D二E且A=S’S. 对非正定矩阵要用平方根法的变形，它基于形如A二5*5的因子分解.为计算S的元素，可用类似(2)的递推关系.但是、如果A是实阵，这种因子分解在计算机上的执行过程不是有效的，因为在计算矩阵S时，可能产生复数运算. 下面是平方根法的重要特征. l)在解基于矩阵因子分解的方程组的直接法中，平方根法是最高速的(是G.a此法的两倍). 2)用平方根法进行矩阵的因子分解，提供矩阵的三角部分一半元素的简洁信息就够了.而且，格式(2)使人们在计算机内存里存放矩阵S就行了，而不必存放原矩阵A的数据.这样，实质上，增加了可解的方程组的阶数. 3)平方根法的计算格式可以对初始矩阵各个行序列所成的集逐行分布式处理，这时，应用外存(贮器)就可以求解高阶方程组. 4)平方根法保持矩阵的带状结构，即矩阵S和初始矩阵的上半部分有同样的形式. 5)对具有正定矩阵的方程组，平方根法特别有效在这种情况，计算过程中矩阵的元素不增加.这种性质保证了计算过程关于舍入误差的稳定性.在这种情况，计算解精度的上界在直接法类中是最小的.在有可能计算具有双精度的格式(2)的向量的数积时，可以使误差的总体水平进一步减小. 当采用定点运算时，计算过程中不增加元素为平方根法提供了一个方便的计算机执行过程. 6)分解式(l)可以用来计算行列式和逆矩阵.

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