补充资料：无限维空间

无限维空间
infinite-dimensional space

　　无限维空I’N[词训妞一曲】.‘0“目印暇;6ee劝”e，。oMep-Hoe npocTp曲cT加」 一个正规的Tl空间X(见正规空间(加mulsPa、ce))，使得对于任何n-一1，O，I，…都不满足不等式d而X(。，即X摊必，并且对任何。二0，1，…存在X的有限开覆盖口。，使得加细口。的任何有限覆盖的重数都>n十1.无限维空间的例子有H川祀rt立方体(Hilbert cube)I的和玫xonoa立方体(T正五o-nov cube)r.泛函分析中碰到的大多数空间也都是无限维空间. 一正规的T;空间X称为在大(小)归纳维数(la卿(sn飞l且)泊ducti记dlme比1on)意义下的无限维空间，如果不等式Ind延n(ind簇n)对任何。=一1，0，1，…都不成立.若X是无限维空间，它就是在大归纳维数意义下的无限维空间.如果X还是紧空间，它也就是在小归纳维数意义下的无限维空间.一个度量空间是无限维空间，等价于它在大归纳维数意义下是无限维空间.存在一些有限维紧统，在小(因而在大)归纳维数意义下是无限维空间.(截至目前)还不知道是否存在一个紧统(或一个度量空间)，在小归纳维数意义下是有限维空间，而在大归纳维数意义下却是无限维空间. 研究无限维空间最自然的方法之一，是引进小超限维数indX和大超限维数Ind X.这种方法在于把大小归纳维数的定义推广到无限序数上.超限维数indX和l刀dX并非对所有无限维空间都有定义.例如，对Hilbert立方体而言，两者均无定义.大超限维数对空间日尸无定义，但indU尸=田。，这里U尸是”维方体尸(n=O，1，…)的离散和. 若超限维数indX(IndX)对正规空间X有定义，那么这个维数等于一个序数，其基数不超过X的权wX(大权Wx).特别是，若X具有可数基，则有indX(田，;若X是紧空间，也有haX<。，.对于度量空间，也有IndX<田:.若，<田、，则存在紧统s:和L:，使得IndS:=“，初L。=“.对任何序数“<田、，存在度量空间戈，使得ind戈=“.如果超限维数IndX有定义，则超限维数indX也有定义，并且泊dX簇】hdX.己经构造出一些度量紧统，使得超限维数玩dx有定义，并且田。n}(它同胚于n维立方体)，映射f在逆象f一‘尸上的限制是一个本质映射(哪enti出n飞IPP毗). 存在一个无限维度量紧统，其任何非空子空间或为零维空间，或为无限维空间.此外，任何强无限维度量紧统都包含一个子紧统，其任何非空子空间或为零维空间，或为无限维空间.任何强无限维紧统均包含一个无限维Cantor流形. 所有可分Banadl空间都是彼此同胚的A强无限维空间，并且同胚于可数多条直线之积.【补注】一个空间如果可以表为可数多个有限维子集之并，则称为可数维空间.亦见可数零维空间(counta-ble zero一dill祀nsional sp暇).
　　

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