补充资料：粘性解

粘性解
viscosity solutions

　　粘性解【诚刃‘钾sd浦..][补注l形如r(x，u(x)，刀。(x)，D，。(x))=o的二阶完全非线性偏微分方程的解的一个概念，其中u是定义在集合QcR”上的实值函数，F:QxR“xR”x夕”~R是连续的(7”是实对称(”xn)矩阵空间).这个概念当F满足 F(x，r，P，X))F(x，s，夕，Y)，(AI) 每当r)s且X簇y(具有通常的关于对称矩阵的次序关系)时是适当的.对X的反单调性是十分弱的椭圆性条件，特别地，它为一阶方程所满足.例子包括经典的Ha而lton-Jacobi方程，最优控制中的Hamilton刁白cobi一段山旧n方程，微分对策中的殆姐“方程，可能退化的线性椭圆型和抛物型方程，微分几何的各种方程(Mon罗·Am诉re，极小曲面)，等等. 一个上(对应地，下)半连续函数u:Q~R是F=0在0中的粘性下解(对应地，粘性上解)，如果对每一个价〔c，(R丹)和。中“一职的局部极大(对应地，极小)点z，有F(z，u(z)，D职(z)，D，沪(:))毛。(对应地，尸(:，u(:)，D职(:)，刀，价(z)))O).连续函数u:Q~R是F=0在Q中的粘性解，如果它同时是F二O在Q中的粘性下解和粘性上解.定义粘性下解和粘性上解的不等式，当u是F蕊0或F)0在一开集中的古典解时，它们是结构条件(AI)和对极值的必要条件的推论，这个事实表明粘性解的概念和二阶椭圆型方程的经典极值原理之间的联系. 这个概念的重要性在于下列事实:相当一般的唯一性定理和存在性定理对粘性解成立.一个典型例子是唯一有界的和一致连续的函数“(x)，x=(t，y)‘[0，TlxR附的存在性和唯一性，它是u，十G(D，“，D:u)二o在(o，TJ xR‘(当T>o)上的粘性解，几对少。R”’满足u(o，J，)‘少(夕)，其中G(宁，Z)是在(q，z)任R’x.了’中连续巨在Z中是反单调的，沙在R”，上有界且一致连续.事实上，存在性本质上是唯一性证明的一个推论，在此证明中还建立了解对价的单调性和连续依赖性，还可以用改造过的R盯叨法(几rron此th团)来证明 除了许多存在性、唯一性和比较性的结果外，粘性解理论现在还包括处理其他一些基本问题，例如，包括经典Diridl兄t，N七un必nn和斜微商条件在内的各种边界条件的正确提法;数值近似的收敛性;解的正则性和其他定性性质的研究;包括大变差和均匀化问题的许多渐近问题的分析;拓广到问断数据;以弱方式过渡到极限;和拓广到某些积分一微分算子. 粘性解的最初的应用是在对确定性发展和随机性发展的最优控制和微分对策的理论中.特别地，相关的Hamilton一Jacobi·氏lln必n方程和IsaaCs方程的唯一定义的粘性解都是对应值的函数，且这个事实提供了动态规划论证的一个完全数学的理由. 该理沦的拓广包括在无限维空间中对一阶和二阶方程问题的研究，目的之一是对利用偏微分方程的最优控制的动态规划方式提供一个理论基础. 参考文献提供了关于该理论的某些基本信息，且包含了许多上面所描述的各种论题的参考文献.
　　

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