1 什么叫极限法?

所谓极限法，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法．极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果．极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数，而在极限法中则是由无限个数来确定一个数．很多问题，用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决．

例如，已知抛物线y2＝2x．（1）在抛物线上任取二点ｐ1（x1，y1）、ｐ2（x2，y2），经过线段ｐ1ｐ2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点ｐ3，证明△ｐ1ｐ2ｐ3的面积为（1／16）·｜y1－y2｜3；（2）经过线段ｐ1ｐ3、ｐ2ｐ3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次相交于ｑ1、ｑ2，试将△ｐ1ｐ3ｑ1与△ｐ2ｐ3ｑ2的面积之和用y1、y2表示出来；（3）依照（2）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作一系列的三角形，由此设法求出线段ｐ1ｐ2与抛物线所围成的图形的面积．（1965年高考数学试题第7题）

在该题中，为了推导所求抛物弓形的面积，必须借助于极限法．

就像坐标法是解析几何的基本方法一样，极限法是微积分的基本方法，微积分中的一系列重要概念，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的．如果要问：“微积分是一门什么学科?”那么可以概括地说：“微积分是用极限法来研究函数的一门学科．”

2 极限法思想是从哪儿来的?

与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物．

极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用．古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法──归谬法完成有关证明．

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”．

极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想．牛顿用路程的改变量δｓ与时间的改变量δt之比δｓ／δt表示运动物体的平均速度，让δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论．他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础．他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等．”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上，因而他无法得出极限的严密表述．牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数ａ，那么就说an以ａ为极限．”

这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义．但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础．

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟δt是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论．英国哲学家、大主教贝克莱对微

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