补充资料：交换代数的局部化

交换代数的局部化
localization in a commutative algebra

　　交换代数的局部化l泳刻凶位犯ina仪肛.加白幽eal酬加;。o雌二。3a”“，:劝MM”aTo.oo‘a月re6pe」 从交换环A到其分式环(如山。瑙，ringof)A 15一’]的转化，其中S是A的子集.环A【S一，」可以当作是由环A到一个环的通用映射问题的解，在这映射下S中的元素都映为可逆元.不过，A【S一’」也可以明确地构造出来: l)作为形如a/:的分式的集合，其中a‘A，5是S中元素的乘积(两个分式a/:和a’/:‘视为等价的，当且仅当存在s”，它也是S中元素的乘积，使得s”(s’a一sa‘)=仇这些分式按通常的规则做加法和乘法); 2)作为多项式环A[Xs」(、〔S)相对于由sXs一1生成的理想的商环; 3)作为A模的归纳系(A‘，中口的归纳极限(ind-ucti记玩旧妞)，其中i取遍自然定序的自由交换么半群N(s).所有A‘与A同构，并且同态职于A‘~冉与乘川卜二叹*6A的乘法一致，其中j=i十”15、十’“十儿k sk· 环A可以典范地映人A[S一’]，从而使A[S一’]成为A代数.映射A~A肺一’}是单射，当且仅当S不含零因子.另一方面，如果S含幂零元，则A〔S一’}二0. 不失一般性，可以假定S对乘法封闭(这种集合也称为乘性的(m血ip玩而沁)或乘性系统(训加pli.。石化s”tem”.这时A〔S一’]也可记为S一’A或A;.最重要的乘性系统的例子有以下几种:a)一个元素:。A的所有幂的集合{:”}; b)集合A\乖，也就是一个素理想甲的补集.对应的分式环是局部环，记为A杯 c)A中所有非零因子的集合R. 环R一‘A称为A的完全分式环(印mPleteru鸡of如面o邓).如果A是整的，则R一，A=A(0)，即为A的分式域. 若令 M 15一’]=材Q，通fs一’]，则局部化可以毫无困难地扩展到任意A模M上.从M到M〔S一’1的变换是一个正合函子.换句话说，A【S一’」是平坦A模.局部化与直和和归纳极限是可交换的. 从几何观点看，局部化意味着转向一个开子集、更确切地说，对:任A，谱s衅Ats一‘1可以典范地等同于(在2冶垃盘i拓扑(乙叮站kitoPo】ogy)下)SPeCA的开子集D(:)，其中D(、)是A的所有不含s的素理想的集合.进一步，这个运算使得有可能把每个A模M与仿射概形s衅A上的一个拟凝聚层所联系起来，使得 r(刀(s)，材)=M【s一’J 局部化也可看作是一个运算，它使得在A模的范畴内用:‘S乘的态射成为可逆的.从这种观点出发，可以把局部化推广到任意范畴(见范畴的局部化(】。口-止必石。nin口t斑驹ries)).
　　

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