1) l-1 multiplier
l-1乘子
1.
The sufficient l-1 multiplier criterion is given.
讨论了径向l-1乘子有界性的L1 标准 。
2) L-KKT mulitiplier
L-KKT-乘子
1.
The equality of KKT point and L-KKT mulitiplier as well as the optimization of the problem(HOP)and(■)are achieved by the generalized Euler identity.
文章给出了Asplund空间上齐次函数的广义欧拉等式并讨论了它的应用,利用广义欧拉等式得到了优化问题(HOP)和(■)的KKT-点和L-KKT-乘子的等价性。
3) LC product
L C 乘积
4) multiplication and multiplicator
乘法乘子
1.
In the article, the author comprehensively describes the multiplication and multiplicator in the Dirichlet Space and draws the conclusion similar to Dirichlet Space, the results of which are theorem 1,2, and 3.
对D irichlet型空间之间的乘法乘子进行了全面的刻画,得到了与D irichlet空间相类似的结论,并对结果进行了推广。
5) l￣1 optimization
l~1优化
6) L~1-fitting
L~1拟合
补充资料：乘子
傅里叶分析中通过傅里叶系数乘上一个数列，或通过傅里叶变换乘上一个函数来定义的一类算子。
设P、Q 是两个具有某种特性的周期为 2π的函数类，{λk}(k=0,±1,±2,...)是给定的复数列。如果对P 中任意函数??(x)的傅里叶系数сk:乘以λk 所得到的数列{λkсk}必定是 Q中某函数g(x)的傅里叶系数,即数列{λk}确定了一个从??∈P映到g∈Q的算子T:T??=g，就称T为(P,Q)乘子,有时也直接称{λk}是(P，Q)乘子,其中P，Q可以是有界函数类B,连续函数类C，p次幂为勒贝格可积的函数类Lp，等等。
数列{λk}应该满足什么条件,才是(P,Q)乘子呢?研究这类问题的定理称为乘子定理。波兰数学家J.马钦凯维奇在1939年提出了下列著名定理.
马钦凯维奇乘子定理 设{λk}满足条件式中M是常数，则{λk}是(Lp,Lp)乘子(p>1),这里Lp表示周期为2π的p次幂可积函数类.
对非周期函数可以类似地定义乘子。设m（x）是给定在n维欧氏空间 Rn上的一个有界可测函数，如果对于L2∩Lp中任意函数??(x)的傅里叶变换弮(y)，乘积m(y)·弮(y)必定是Lp(Rn)中某个函数g(x)的傅里叶变换,并且存在常数M，使得
式中也就是说，对一切??∈L2∩Lp，由等式
所确定的算子T是Lp上的有界算子:就称T为对应于m(x)的Lp乘子算子，或简称Lp乘子，有时也直接称m(x)是一个Lp乘子。1956年苏联数学家C.Γ.米赫林证明了下面的定理。
米赫林乘子定理 设m(x)在Rn中除原点外是 k阶连续可微的，其中k为大于n/2的整数，还假设m(x)的所有阶数不超过k的偏导数满足条件式中α=(α1,α2,...,αn)，αi是非负整数,│α│=α1+α2+...+αn≤k,则m(x)是Lp乘子(p>1)。
乘子算子的特点是它同平移算子可交换。平移算子τh的定义为(τh??)(x)=??(x-h)，这里 h是Rn中一个向量。Lp上的有界线性算子 T是乘子算子的充分必要条件为它与平移算子可交换，即对任意h∈Rn，有 Tτh=τhT成立。
如果不通过傅里叶变换直接来表示乘子算子，那么在一定意义上说,乘子算子实际上就是卷积算子T??=??*φ，其中*表示卷积运算。
设??(x)是多元函数，在研究??(x)的多重傅里叶级数的各种形式的部分和（方形和，矩形和，球形和）是否依Lp范数收敛到??(x)时，遇到下述类型的乘子问题：设m(x)是某个可测集D的特征函数ⅹD(x)，
问D具有什么样的几何形状时，ⅹD(x)是Lp乘子？这个叙述起来十分简单的问题，实际上却异常复杂。以二维的情形为例，如果D是半平面，或多边形时，ⅹD(x)是Lp乘子(p>1)；但当D是单位圆时，问题就复杂得多了。一般地说，若D是n维空间的单位球,对应于ⅹD(x)的算子T是否为乘子算子的问题，被称为圆盘问题。它曾在长时期内没能解决。容易推知,对于区间以外的p，T不是 Lp上的有界算子。因此，曾有一个所谓"圆盘猜想"，猜想：对于满足的一切p,T是Lp上的有界算子。为了研究此问题，美国数学家E.M.施坦与C.费弗曼先研究稍简单一些的博赫纳-里斯球形和算子Tδ:式中它和单位球的特征函数的差别在于它在 ｜x｜=1处具有一定的光滑性。他们推测对:一切δ>0,当时，Tδ是 Lp上的有界算子。1970年费弗曼证明了当时，这个推测成立。然而，圆盘猜测却在1971年被费弗曼否定了。他通过构造反例说明：当空间维数n>1时，T只能是L2上的有界算子，若p≠2，T不可能在Lp上有界。由此可见，乘子算子的复杂性。
泛函分析，微分方程中的许多算子都是乘子算子。因此，乘子定理在傅里叶分析，泛函分析，微分方程，位势理论以及数学物理中有广泛的应用。
参考书目
J. Marcinkiewicz, Sur les Multiplicateurs des Séries de Fourier,Studia MatheMatica, T. 8, pp. 78～91, Warsaw,1939.
设P、Q 是两个具有某种特性的周期为 2π的函数类，{λk}(k=0,±1,±2,...)是给定的复数列。如果对P 中任意函数??(x)的傅里叶系数сk:乘以λk 所得到的数列{λkсk}必定是 Q中某函数g(x)的傅里叶系数,即数列{λk}确定了一个从??∈P映到g∈Q的算子T:T??=g，就称T为(P,Q)乘子,有时也直接称{λk}是(P，Q)乘子,其中P，Q可以是有界函数类B,连续函数类C，p次幂为勒贝格可积的函数类Lp，等等。
数列{λk}应该满足什么条件,才是(P,Q)乘子呢?研究这类问题的定理称为乘子定理。波兰数学家J.马钦凯维奇在1939年提出了下列著名定理.
马钦凯维奇乘子定理 设{λk}满足条件式中M是常数，则{λk}是(Lp,Lp)乘子(p>1),这里Lp表示周期为2π的p次幂可积函数类.
对非周期函数可以类似地定义乘子。设m（x）是给定在n维欧氏空间 Rn上的一个有界可测函数，如果对于L2∩Lp中任意函数??(x)的傅里叶变换弮(y)，乘积m(y)·弮(y)必定是Lp(Rn)中某个函数g(x)的傅里叶变换,并且存在常数M，使得
式中也就是说，对一切??∈L2∩Lp，由等式
所确定的算子T是Lp上的有界算子:就称T为对应于m(x)的Lp乘子算子，或简称Lp乘子，有时也直接称m(x)是一个Lp乘子。1956年苏联数学家C.Γ.米赫林证明了下面的定理。
米赫林乘子定理 设m(x)在Rn中除原点外是 k阶连续可微的，其中k为大于n/2的整数，还假设m(x)的所有阶数不超过k的偏导数满足条件式中α=(α1,α2,...,αn)，αi是非负整数,│α│=α1+α2+...+αn≤k,则m(x)是Lp乘子(p>1)。
乘子算子的特点是它同平移算子可交换。平移算子τh的定义为(τh??)(x)=??(x-h)，这里 h是Rn中一个向量。Lp上的有界线性算子 T是乘子算子的充分必要条件为它与平移算子可交换，即对任意h∈Rn，有 Tτh=τhT成立。
如果不通过傅里叶变换直接来表示乘子算子，那么在一定意义上说,乘子算子实际上就是卷积算子T??=??*φ，其中*表示卷积运算。
设??(x)是多元函数，在研究??(x)的多重傅里叶级数的各种形式的部分和（方形和，矩形和，球形和）是否依Lp范数收敛到??(x)时，遇到下述类型的乘子问题：设m(x)是某个可测集D的特征函数ⅹD(x)，
问D具有什么样的几何形状时，ⅹD(x)是Lp乘子？这个叙述起来十分简单的问题，实际上却异常复杂。以二维的情形为例，如果D是半平面，或多边形时，ⅹD(x)是Lp乘子(p>1)；但当D是单位圆时，问题就复杂得多了。一般地说，若D是n维空间的单位球,对应于ⅹD(x)的算子T是否为乘子算子的问题，被称为圆盘问题。它曾在长时期内没能解决。容易推知,对于区间以外的p，T不是 Lp上的有界算子。因此，曾有一个所谓"圆盘猜想"，猜想：对于满足的一切p,T是Lp上的有界算子。为了研究此问题，美国数学家E.M.施坦与C.费弗曼先研究稍简单一些的博赫纳-里斯球形和算子Tδ:式中它和单位球的特征函数的差别在于它在 ｜x｜=1处具有一定的光滑性。他们推测对:一切δ>0,当时，Tδ是 Lp上的有界算子。1970年费弗曼证明了当时，这个推测成立。然而，圆盘猜测却在1971年被费弗曼否定了。他通过构造反例说明：当空间维数n>1时，T只能是L2上的有界算子，若p≠2，T不可能在Lp上有界。由此可见，乘子算子的复杂性。
泛函分析，微分方程中的许多算子都是乘子算子。因此，乘子定理在傅里叶分析，泛函分析，微分方程，位势理论以及数学物理中有广泛的应用。
参考书目
J. Marcinkiewicz, Sur les Multiplicateurs des Séries de Fourier,Studia MatheMatica, T. 8, pp. 78～91, Warsaw,1939.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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