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1)  quadratic functions with n unknowns
n元二次函数
1.
With the help of the solid quadratic type theory and the broad converse of matrix,the author offers the full and essential conditions of the maximum and the minimum in the quadratic functions with n unknowns and supplies the solutions to the maximum and the minimum.
利用实二次型理论和矩阵的广义逆给出了n元二次函数存在最大或最小值的充分必要条件 ,以及最值点和最值的计算方法 。
2)  Binary quadratic functions
二元二次函数
3)  linear duality function
一元二次函数
4)  multivariate functions
n元函数
1.
A sufficient condition about extreme value of multivariate functions was given, and according elementary transformation of matrix, established a convenient judgement method for extreme value of multivariate functions, finally an example was given.
给出了 n元函数极值的一个充分条件 ,并结合矩阵的初等变换建立了 n元函数极值的一种快速判别法 ,最后给出了一个例
5)  Quality quadratic function of fertilizer effect
二元二次肥效函数
6)  quadratic function
二次函数
1.
An analytic solution of quadratic function pressures on liquid press working urn;
液压机工作缸内部受任意二次函数分布压力之解析解
2.
Ponder about a dual quadratic function extreme value
关于二元二次函数极值的一点思考
补充资料:二次函数
二次函数

i.定义与定义表达式

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

ii.二次函数的三种表达式

一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点p(h,k)]

交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点a(x1,0)和 b(x2,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

iii.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,

可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。

iv.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点p,坐标为

p [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时,p在y轴上;当δ= b^2-4ac=0时,p在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与x轴交点个数

δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

v.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

即ax^2;+bx+c=0

此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

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