1) equivariant cohomology theory
等变上同调论
2) equivariant cohomology
等变上同调
1.
The S~1 equivariant cohomology of CP~n
CP~n的S~1等变上同调群
3) stringy equivariant cohomology group
弦等变上同调群
4) equivariant cohomology rings
等变上同调环
1.
In this paper we consider 4 dimensional connected closed S~1-manifolds M with a non-empty finite fixed point set,each equivariant cohomology rings of M,with coefficient Q,H_G~*(M;Q) is a free H~*(BG;Q) module.
设M为具有有限不动点集的4维连通闭G-流形,它的Q系数等变上同调环H_G~*(M;Q)是自由H~*(BG;Q)模,其中G=S~1为圆周群。
6) generalized cohomology theory
广义上同调论
补充资料：同调论
代数拓扑学中的一个主要组成部分，研究与同调概念有关的课题。
考虑带有方向的曲面（块）与曲线（段）,如图1、图2中的圆盘均由旋转箭头定向。圆周Z与Z┡是比D与D┡低一维的图形,作为曲线，它们各按所标的箭头定向。规定D的边缘为Z，记作嬠D＝Z；对于D┡,则应有嬠D┡=-Z┡。无底圆筒 C与它的上下边界W1与W0按所标箭头定向后有嬠C＝W1-W0（图3）。在图 4环面T中，圆圈Z为曲面块 A的边缘，嬠A＝Z，这时称闭曲线Z在环面T上同调于零，记作Z～0。闭曲线W在T上不同调于零，但嬠B=W-W1,这时称闭曲线W同调于W1，记作W～W1。同调概念就是在这种定向图形之间的边缘关系上建立起来的。
在图5的曲面S上,α、с、d都不同调于零,b)～0，α不同调于с、d中的任何一个，但с～d。
将图6中圆盘边界上的每一对对径点（诸如A与A┡,B与B┡）粘合,得到的曲面p叫做射影平面。与在p中为同一定向圆圈z。可以看出,在p中有z+z=2z～0，但z不同调于零。
H.庞加莱从1895年起，为了对同调概念做一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学。
n维单形 0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体,n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。
定向单形 除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如，一维单形的定向可以用从起点到终点的箭头给出，二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7),等等。一般对于n维单形有两个定向,可以用顶点的顺序来给出它的定向。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。例如，线段AB的一个定向可以用(A,B)表示,另一个定向则可用(B,A)表示;三角形ABC的一个定向可用(B,A,C)或(C,B,A)或(A,C,B)表示,另一个定向可用(B,C,A,)或(C,A,B)或(A,B,C)表示。
单纯复形 是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如，图8之a这个单纯复形是由4个0维单形A,B，C，D；4个一维单形AB，BD，CD，BC和1个二维单形BCD按照图8之a中所画的关系拼凑而组成的。图8之b这个单纯复形是由6个0维单形A，B，C，A┡，B┡,C┡,12个一维单形AB,BC,CA,A┡B┡,B┡C┡，C┡A┡，B┡C，A┡C，A┡B，BB┡，AA┡，CC┡，6个二维单形AA┡B，A┡BB┡，BB┡C，B┡CC┡，CC┡A┡，CA┡A按照图8之b中所画的关系拼凑而组成的。
单纯复形的n维链 形如的线性组合叫一个n维链,其中{}取遍单纯复形K的所有单形，且每个单形取好了定向（0维单形不取定向）,αi为整数（即线性组合中的每一项是K中的一个n维定向单形，且附一个整系数）。两个n维链之和定义为一个n维链，其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:K的所有的n维链组成一个交换群,这个交换群叫K的n维链群，记作Cn(K)。例如，图8之a 中的单纯复形,3(A,B)+2(B,C)-(C,D)-5(B,D)为一个一维链;图8之b中的单纯复形,4(A,A┡,B)-2(B,B┡,C)+(C，A,A┡)为一个二维链。
边缘算子 规定0维单形的边缘为零,一维定向单形(A,B)的边缘为B-A，二维定向单形(A,B,C)的边缘为(B,C)-(A,C)+(A,B),三维定向单形(A,B,C,D)的边缘为(B,C,D)-(A,C,D)+(A,B,D)-(A,B,C),等等。可类似地定义n维定向单形的边缘。以符号嬠写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个n维链，规定它的边缘（即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和）。不难看出,一个n维链的边缘是一个n-1维链。由此得到从n维链群到n-1维链群的同态，这个同态叫做（下）边缘算子，记作嬠:Cn(K)→Cn-1(K)。边缘算子具有嬠嬠=0的性质。
n维闭链 满足嬠x=0的n维链x叫n维闭链。例如,图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)就是一个一维闭链。单纯复形K的所有n维闭链所组成的交换群叫K的n维闭链群，记作Zn(K)。
n维边缘链 如果一个n维链是某一个 n+1维链的边缘,则称此链为n维边缘链（即一个n维图形是n+1维图形的边缘）。例如图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)=嬠(B,C,D)就是一个一维边缘链。单纯复形K的所有n维边缘链所组成的交换群叫K的n维边缘链群，记作Bn(K)。由于边缘链一定是闭链，因而Bn(K)是Zn(K)的子群。
n维同调群 由于Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做单纯复形K的n维（下）同调群，记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素叫做一个n维同调类。如果两个n维闭链zń,z怽的差为一个边缘链时,就叫zń与z怽同调。如果zn是边缘链，则称zn同调于零。例如,图8b中的单纯复形,2个一维闭链(A,B)+(C,A)+(B,C)，(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而这两个闭链同调（而它们都不同调于零）。同调群 Hn(K)的秩叫做K的n维贝蒂数。如果在n维链群的定义中,用任意的一个交换群G中的元素代替整数，可以得到以G为系数的n维链群 Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G),n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。
多面体 单纯复形 K的全体单形的并集叫做一个多面体，记作│K│。对于多面体的同调群Hn(｜K｜;G)可以用Hn(K;G)来定义，即令Hn(｜K｜;G)=Hn(K;G)。
单纯映射 给定了两个单纯复形K，L,且指定了K的每一个顶点（0维单形）到L的某个顶点的一个对应，并把K中的属于同一个单形的所有顶点对应到L的同在一个单形中的顶点，这个对应叫从K到L的单纯映射。单纯映射??:K→L把 K中的每一个定向单形(顶点的一个顺序)映射到L中的一个定向单形（得到对应顶点的一个顺序,若有两个顶点的像重合，则理解为对应到0）,由此产生了一个从Cn(K;G)到 Cn(L;G)的同态，并且可以证明它把Zn(K;G)映射到Zn(L;G)，Bn(K;G)映射到Bn(L;G)。从这个同态可以导出一个从Hn(K;G)到Hn(L;G)的同态。
连续映射导出的同态 给了两个多面体|K|、|L|之间的一个连续映射F：│K│→│L│，可以将K适当重分成另一复形K┡,并用一个单纯映射去逼近F。利用这个单纯映射导出的同调群之间的同态得到Hn(│K┡│；G)到Hn(│L│；G)的同态，并且可以证明，Hn(│K┡│；G)与Hn(|K|;G)自然地同构。 于是记此同态为Fn：Hn(|K|;G)→Hn(│L│;G)。
上同调群 G为任一交换群，Hom(Cn(K)，G)为所有从Cn(K)到G的群同态所组成的群，这个群叫做K的以G为系数的 n维上链群，记作Cn(K；G)。利用K 的边缘算子嬠:Cn(K)→Cn-1(K)可得对偶同态δ:Cn-1(K;G)→Cn(K;G)。定义如下:设??∈Cn-1(K；G),规定δ??=??嬠:Cn(K)→G。这个δ叫上边缘算子,具有δδ=0的性质。与同调群的定义相似，可以定义以G为系数的上闭链群Zn(K;G)，上边缘链群Bn(K;G),上同调群Hn(K;G)。当G为整数加群Z时，省去符号Z，简单记为 Cn(K)，Zn(K),Bn(K)，Hn(K)，等等。对于连续映射F：│K│→│L│,利用单纯映射去逼近，可得到同态。上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时，同调群和上同调群之间还有对偶关系（流形的庞加莱对偶定理）,即Hn(｜K｜;G)同构于Hq-n(│K│;G)，其中q为流形│K│的维数。
J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体│K│，│L│同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上，如果│K│，│L│伦型相同，其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。
利用同调群可以解决不少几何问题。例如，布劳威尔不动点定理（见不动点理论），可以找到欧拉示性数与贝蒂数之间的关系式： 其中αi为复形K的i维单形个数,b)i为多面体│K│的i维贝蒂数,(K)即K的欧拉示性数。从而证明了欧拉示性数是│K│的拓扑不变量。
单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此，它同构于,其中Z代表整数加群，θ(1,n)，...，θ(τn，n)为一串自然数，每个可整除后一个,嘰表示直和。前面Z的个数即为n维贝蒂数;后面这串有限群的阶数θ(1,n),...,θ(τn，n)称为 n维挠系数。确定一个单纯复形（及其多面体）的各维贝蒂数与挠系数，也就算出了同调群。
简单的单纯复形的同调群的计算,可以通过叫做"挤到边上去"的方法直观地解决。一般单纯复形同调群的计算，可以用矩阵变换的方法经有限多次的算术运算解决，不过具体实现这种计算是非常困难的。
带系数群G的同调群的构造，可由整系数同调群与G按照"泛系数"公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。
同调论的公理 S.艾伦伯格和N.E.斯廷罗德提出了同调群、上同调群满足的公理，并证明了在多面体的情形下满足公理的同调群、上同调群是惟一的。
在一般的拓扑空间上引进同调群主要有两种方式。利用有序单形映射到拓扑空间，来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的奇异同调群；利用单纯复形来逼近一个拓扑空间，用极限来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的切赫同调群。在紧多面体的情况，这两种同调群都同构于按单纯剖分得到的同调群。
在以某种环为系数的上同调群中可以引入乘法使之成为上同调环。为了更好地利用上同调群，在其上引入了所谓上同调运算的额外结构，例如斯廷罗德幂，庞特里亚金幂等等。由斯廷罗德幂发展成为斯廷罗德代数的研究，大大丰富了同调论的内容。
参考书目
江泽涵著：《拓扑学引论》,上海科学技术出版社,上海，1978。
R.M. Switzer,Algebraic Topology-Homotopy and Homology, Springer-Verlag, New York, 1975.
考虑带有方向的曲面（块）与曲线（段）,如图1、图2中的圆盘均由旋转箭头定向。圆周Z与Z┡是比D与D┡低一维的图形,作为曲线，它们各按所标的箭头定向。规定D的边缘为Z，记作嬠D＝Z；对于D┡,则应有嬠D┡=-Z┡。无底圆筒 C与它的上下边界W1与W0按所标箭头定向后有嬠C＝W1-W0（图3）。在图 4环面T中，圆圈Z为曲面块 A的边缘，嬠A＝Z，这时称闭曲线Z在环面T上同调于零，记作Z～0。闭曲线W在T上不同调于零，但嬠B=W-W1,这时称闭曲线W同调于W1，记作W～W1。同调概念就是在这种定向图形之间的边缘关系上建立起来的。
在图5的曲面S上,α、с、d都不同调于零,b)～0，α不同调于с、d中的任何一个，但с～d。
将图6中圆盘边界上的每一对对径点（诸如A与A┡,B与B┡）粘合,得到的曲面p叫做射影平面。与在p中为同一定向圆圈z。可以看出,在p中有z+z=2z～0，但z不同调于零。
H.庞加莱从1895年起，为了对同调概念做一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学。
n维单形 0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体,n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。
定向单形 除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如，一维单形的定向可以用从起点到终点的箭头给出，二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7),等等。一般对于n维单形有两个定向,可以用顶点的顺序来给出它的定向。彼此相差一个偶排列的两个顺序代表同一个定向。例如，线段AB的一个定向可以用(A,B)表示,另一个定向则可用(B,A)表示;三角形ABC的一个定向可用(B,A,C)或(C,B,A)或(A,C,B)表示,另一个定向可用(B,C,A,)或(C,A,B)或(A,B,C)表示。
单纯复形 是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如，图8之a这个单纯复形是由4个0维单形A,B，C，D；4个一维单形AB，BD，CD，BC和1个二维单形BCD按照图8之a中所画的关系拼凑而组成的。图8之b这个单纯复形是由6个0维单形A，B，C，A┡，B┡,C┡,12个一维单形AB,BC,CA,A┡B┡,B┡C┡，C┡A┡，B┡C，A┡C，A┡B，BB┡，AA┡，CC┡，6个二维单形AA┡B，A┡BB┡，BB┡C，B┡CC┡，CC┡A┡，CA┡A按照图8之b中所画的关系拼凑而组成的。
单纯复形的n维链 形如的线性组合叫一个n维链,其中{}取遍单纯复形K的所有单形，且每个单形取好了定向（0维单形不取定向）,αi为整数（即线性组合中的每一项是K中的一个n维定向单形，且附一个整系数）。两个n维链之和定义为一个n维链，其每项的系数是两个链的相应项的系数之和。容易验证:K的所有的n维链组成一个交换群,这个交换群叫K的n维链群，记作Cn(K)。例如，图8之a 中的单纯复形,3(A,B)+2(B,C)-(C,D)-5(B,D)为一个一维链;图8之b中的单纯复形,4(A,A┡,B)-2(B,B┡,C)+(C，A,A┡)为一个二维链。
边缘算子 规定0维单形的边缘为零,一维定向单形(A,B)的边缘为B-A，二维定向单形(A,B,C)的边缘为(B,C)-(A,C)+(A,B),三维定向单形(A,B,C,D)的边缘为(B,C,D)-(A,C,D)+(A,B,D)-(A,B,C),等等。可类似地定义n维定向单形的边缘。以符号嬠写在定向单形的前面表示它的边缘。对于每一个n维链，规定它的边缘（即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和）。不难看出,一个n维链的边缘是一个n-1维链。由此得到从n维链群到n-1维链群的同态，这个同态叫做（下）边缘算子，记作嬠:Cn(K)→Cn-1(K)。边缘算子具有嬠嬠=0的性质。
n维闭链 满足嬠x=0的n维链x叫n维闭链。例如,图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)就是一个一维闭链。单纯复形K的所有n维闭链所组成的交换群叫K的n维闭链群，记作Zn(K)。
n维边缘链 如果一个n维链是某一个 n+1维链的边缘,则称此链为n维边缘链（即一个n维图形是n+1维图形的边缘）。例如图8a中的单纯复形，一维链(C,D)-(B,D)+(B,C)=嬠(B,C,D)就是一个一维边缘链。单纯复形K的所有n维边缘链所组成的交换群叫K的n维边缘链群，记作Bn(K)。由于边缘链一定是闭链，因而Bn(K)是Zn(K)的子群。
n维同调群 由于Bn(K)是 Zn(K)的子群，把商群Zn(K)/Bn(K)叫做单纯复形K的n维（下）同调群，记作Hn(K)。Hn(K)中的每一个元素叫做一个n维同调类。如果两个n维闭链zń,z怽的差为一个边缘链时,就叫zń与z怽同调。如果zn是边缘链，则称zn同调于零。例如,图8b中的单纯复形,2个一维闭链(A,B)+(C,A)+(B,C)，(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而这两个闭链同调（而它们都不同调于零）。同调群 Hn(K)的秩叫做K的n维贝蒂数。如果在n维链群的定义中,用任意的一个交换群G中的元素代替整数，可以得到以G为系数的n维链群 Cn(K;G)。相似地有以G为系数的n维边缘群Bn(K;G),n维闭链群Zn(K;G)。由此定义以G为系数的n维同调群Hn(K;G)。
多面体 单纯复形 K的全体单形的并集叫做一个多面体，记作│K│。对于多面体的同调群Hn(｜K｜;G)可以用Hn(K;G)来定义，即令Hn(｜K｜;G)=Hn(K;G)。
单纯映射 给定了两个单纯复形K，L,且指定了K的每一个顶点（0维单形）到L的某个顶点的一个对应，并把K中的属于同一个单形的所有顶点对应到L的同在一个单形中的顶点，这个对应叫从K到L的单纯映射。单纯映射??:K→L把 K中的每一个定向单形(顶点的一个顺序)映射到L中的一个定向单形（得到对应顶点的一个顺序,若有两个顶点的像重合，则理解为对应到0）,由此产生了一个从Cn(K;G)到 Cn(L;G)的同态，并且可以证明它把Zn(K;G)映射到Zn(L;G)，Bn(K;G)映射到Bn(L;G)。从这个同态可以导出一个从Hn(K;G)到Hn(L;G)的同态。
连续映射导出的同态 给了两个多面体|K|、|L|之间的一个连续映射F：│K│→│L│，可以将K适当重分成另一复形K┡,并用一个单纯映射去逼近F。利用这个单纯映射导出的同调群之间的同态得到Hn(│K┡│；G)到Hn(│L│；G)的同态，并且可以证明，Hn(│K┡│；G)与Hn(|K|;G)自然地同构。 于是记此同态为Fn：Hn(|K|;G)→Hn(│L│;G)。
上同调群 G为任一交换群，Hom(Cn(K)，G)为所有从Cn(K)到G的群同态所组成的群，这个群叫做K的以G为系数的 n维上链群，记作Cn(K；G)。利用K 的边缘算子嬠:Cn(K)→Cn-1(K)可得对偶同态δ:Cn-1(K;G)→Cn(K;G)。定义如下:设??∈Cn-1(K；G),规定δ??=??嬠:Cn(K)→G。这个δ叫上边缘算子,具有δδ=0的性质。与同调群的定义相似，可以定义以G为系数的上闭链群Zn(K;G)，上边缘链群Bn(K;G),上同调群Hn(K;G)。当G为整数加群Z时，省去符号Z，简单记为 Cn(K)，Zn(K),Bn(K)，Hn(K)，等等。对于连续映射F：│K│→│L│,利用单纯映射去逼近，可得到同态。上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时，同调群和上同调群之间还有对偶关系（流形的庞加莱对偶定理）,即Hn(｜K｜;G)同构于Hq-n(│K│;G)，其中q为流形│K│的维数。
J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体│K│，│L│同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上，如果│K│，│L│伦型相同，其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。
利用同调群可以解决不少几何问题。例如，布劳威尔不动点定理（见不动点理论），可以找到欧拉示性数与贝蒂数之间的关系式： 其中αi为复形K的i维单形个数,b)i为多面体│K│的i维贝蒂数,(K)即K的欧拉示性数。从而证明了欧拉示性数是│K│的拓扑不变量。
单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此，它同构于,其中Z代表整数加群，θ(1,n)，...，θ(τn，n)为一串自然数，每个可整除后一个,嘰表示直和。前面Z的个数即为n维贝蒂数;后面这串有限群的阶数θ(1,n),...,θ(τn，n)称为 n维挠系数。确定一个单纯复形（及其多面体）的各维贝蒂数与挠系数，也就算出了同调群。
简单的单纯复形的同调群的计算,可以通过叫做"挤到边上去"的方法直观地解决。一般单纯复形同调群的计算，可以用矩阵变换的方法经有限多次的算术运算解决，不过具体实现这种计算是非常困难的。
带系数群G的同调群的构造，可由整系数同调群与G按照"泛系数"公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。
同调论的公理 S.艾伦伯格和N.E.斯廷罗德提出了同调群、上同调群满足的公理，并证明了在多面体的情形下满足公理的同调群、上同调群是惟一的。
在一般的拓扑空间上引进同调群主要有两种方式。利用有序单形映射到拓扑空间，来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的奇异同调群；利用单纯复形来逼近一个拓扑空间，用极限来定义这个拓扑空间的同调群，称为这个拓扑空间的切赫同调群。在紧多面体的情况，这两种同调群都同构于按单纯剖分得到的同调群。
在以某种环为系数的上同调群中可以引入乘法使之成为上同调环。为了更好地利用上同调群，在其上引入了所谓上同调运算的额外结构，例如斯廷罗德幂，庞特里亚金幂等等。由斯廷罗德幂发展成为斯廷罗德代数的研究，大大丰富了同调论的内容。
参考书目
江泽涵著：《拓扑学引论》,上海科学技术出版社,上海，1978。
R.M. Switzer,Algebraic Topology-Homotopy and Homology, Springer-Verlag, New York, 1975.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条