1) (ae=e)-type semigroup
(ae=e)-型半群
2) (ea=e)-type semigroup
(ea=e)-型半群
3) E*-unitary semigroup
E*-酉半群
4) E-inverse semigroups
E-逆半群
1.
In this paper,the concepts of E-inverse semigroups and E-semigroups are introduced.
本文在以E-逆半群和E-半群为背景的前提下,研究了E-逆半群的性质、矩形群同余和E-逆半环的性质,以及E-半群上的中间集。
5) E-semigroups
E-半群
1.
In this paper,the concepts of E-inverse semigroups and E-semigroups are introduced.
本文在以E-逆半群和E-半群为背景的前提下,研究了E-逆半群的性质、矩形群同余和E-逆半环的性质,以及E-半群上的中间集。
6) strong E-inversive E-semigroup
强E-逆E半群
1.
It is shown that the Lallement s lemma holds in strong E-inversive semigroups,and it is further proved that the homomorphic image of strong E-inversive E-semigroups is also E-inversive E-semigroups.
给出了强E-逆半群的概念,证明了在强E-逆半群中Lallement引理是成立的,进一步证明了强E-逆E半群的同态像也是强E-逆E半群。
补充资料：半群
群概念的推广。一集合S称为半群，是指S的所有元素对于S上的一个二元运算*满足结合律,即(α*b)*с=α*(b*с)，α、b、с∈S。例如，整数集合对于加法运算是一半群；集合A 的所有子集合组成的集合S(A)对于集合的并,是一半群；集合A上的所有变换T(A)对于变换的乘法，是一半群；集合A 上的所有二元关系R（A）对于关系运算的乘法，是一半群。设 Χ 是一字符集合，Χ+是Χ 中的元素组成的有限字符串的集合。若对Χ+中的两个元素、 定义二元运算*如下：,则Χ+对于运算*是一半群,并称之为由Χ 生成的自由半群。
对于半群，广义结合律成立，即在有限个元素相乘时，不论以什么样的方式结合，只要元素排列的次序不变，结果总是相同的。
在半群中，如果对于正整数 n定义 ，那么对于正整数m、n有,。
若半群中存在元素e，使得对于所有的 α∈S，都有e*α=α,则e称为半群的左单位元素。同样可定义半群的右单位元素。如果一半群既有左单位元素，又有右单位元素，那么这两个元素必是同一个元素；这个元素称为半群的单位元素。若一半群中存在元素Ζ,使得对于所有的α∈S，都有Ζ*α=Ζ,则Ζ称为半群的左零元素。同样可以定义半群的右零元素。如果一半群既有左零元素，又有右零元素,那么这两个元素必是同一个元素,并称之为半群的零元素。若半群中的一个元素x满足条件 x*x=x，则x称为半群的幂等元素。显然,单位元素和零元素都是幂等元素。
有单位元素的半群，称为幺半群。如果给定的一半群S不含单位元素,那么可以给它补充一个单位元素e,使它成为幺半群S┡=S ∪{e},其中S的二元运算*已扩展到S┡上,即对所有α∈S,恒有e*α=α*e=α，并且e*e=e。在字符集合Χ上的字符串半群Χ+中,可以补上空串，使之成为幺半群Χ。
如果一半群的元素的个数是有限的，那么这个半群称为有限半群。任何有限半群S必含有幂等元素,而且对于任何α∈S，都有一个形式为αk的幂等元素。
如果半群S的二元运算是可交换的,即对于α、b∈S，恒有α*b=b*α,那么S称为可交换半群。在可交换半群中，对于正整数n，有。
如果半群S中存在一个元素α,使得，那么S称为由α产生的循环半群，简称为循环半群。循环半群显然是可交换半群。若循环半群的元素个数是无限的,则α的所有幂都是不同的。若循环半群的元素个数是有限的，则存在两个正整数r和m，使得,并且，r称为α的瞬态指数,m称为 α的周期。如图所示，这时是S的循环子半群。如果n是m的倍数,满足r≤n≤r+m-1，那么αn是幂等元素,且是半群Kα的单位元素。如果半群S的一个子集W对于S中规定的二元运算而言仍是一个半群,那么W称为S的子半群。
设S1和S2是两个半群,??是从S1到S2的一个映射,如果??是保运算的，即对所有的α、b∈S有??(α*b)=??(α)*??(b),那么??称为同态映射。当??为满射时，则称S2是S1的同态像。当??是双射时，则称??是同构映射。此时就说半群S1和S2是同构的,记为。如果S2是一个幺半群，含有单位元素e2,那么把S1中映成e2的那些元素组成的集合称为同态映射??的核，记为Ker(??)。
如果一半群S有单位元素e且有逆,即对于任何α∈S总有元素b使得α*b=b*α=e，那么半群S是一个群。如果半群S的一个子集A满足条件,那么子集A称为S的左理想。同样可定义右理想。若A非空且A≠S，则称A是S的真理想。若半群 S无真的左理想，则称A是左单纯的。同样可定义S是右单纯的。
一个半群是群的充分必要条件为：它既无左真理想，又无右真理想。一个有限幺半群是群的充分必要条件为：单位元素是这个半群的惟一幂等元素。
设R是半群S上的一个等价关系,如果对所有的z∈S，当xRy时总有x*zRy*z，那么等价关系R称为右不变的。同样可定义左不变的等价关系。如果半群 S上的等价关系R既是左不变的,又是右不变的，那么R称为S上的合同关系。
设R是半群S上的合同关系,集合S/R是S在关系R之下的等价组集合,[x]R是S中和x等价的元素组成的等价组。若把等价组之间的二元运算*定义为，则S/R是一个半群。设MR是如下定义的由S到S/R上的映射:MR(x)＝[x]R,x∈S,[x]R∈S/R,则MR是一个同态映射。S/R 称为半群S对于R的商半群。
近年来,半群的理论在计算机科学中得到了应用,引起人们的重视，并成为数学家和计算机科学家深入研究的对象，有了迅速的发展。
参考书目
E. Hille,Functional Analysis and Semigroups, American Mathematical Society, New York,1948.
A.H.Clifford and G.B.Preston,The Algebraic Theory of Semi groups, American Mathematical Society, Pronidence, Rhode Island,1967.
M.A.Arbib,Theories of Abstract Automata, Prentice Hall,Englewood Cliffs, New Jersey, 1969.
对于半群，广义结合律成立，即在有限个元素相乘时，不论以什么样的方式结合，只要元素排列的次序不变，结果总是相同的。
在半群中，如果对于正整数 n定义 ，那么对于正整数m、n有,。
若半群中存在元素e，使得对于所有的 α∈S，都有e*α=α,则e称为半群的左单位元素。同样可定义半群的右单位元素。如果一半群既有左单位元素，又有右单位元素，那么这两个元素必是同一个元素；这个元素称为半群的单位元素。若一半群中存在元素Ζ,使得对于所有的α∈S，都有Ζ*α=Ζ,则Ζ称为半群的左零元素。同样可以定义半群的右零元素。如果一半群既有左零元素，又有右零元素,那么这两个元素必是同一个元素,并称之为半群的零元素。若半群中的一个元素x满足条件 x*x=x，则x称为半群的幂等元素。显然,单位元素和零元素都是幂等元素。
有单位元素的半群，称为幺半群。如果给定的一半群S不含单位元素,那么可以给它补充一个单位元素e,使它成为幺半群S┡=S ∪{e},其中S的二元运算*已扩展到S┡上,即对所有α∈S,恒有e*α=α*e=α，并且e*e=e。在字符集合Χ上的字符串半群Χ+中,可以补上空串，使之成为幺半群Χ。
如果一半群的元素的个数是有限的，那么这个半群称为有限半群。任何有限半群S必含有幂等元素,而且对于任何α∈S，都有一个形式为αk的幂等元素。
如果半群S的二元运算是可交换的,即对于α、b∈S，恒有α*b=b*α,那么S称为可交换半群。在可交换半群中，对于正整数n，有。
如果半群S中存在一个元素α,使得，那么S称为由α产生的循环半群，简称为循环半群。循环半群显然是可交换半群。若循环半群的元素个数是无限的,则α的所有幂都是不同的。若循环半群的元素个数是有限的，则存在两个正整数r和m，使得,并且，r称为α的瞬态指数,m称为 α的周期。如图所示，这时是S的循环子半群。如果n是m的倍数,满足r≤n≤r+m-1，那么αn是幂等元素,且是半群Kα的单位元素。如果半群S的一个子集W对于S中规定的二元运算而言仍是一个半群,那么W称为S的子半群。
设S1和S2是两个半群,??是从S1到S2的一个映射,如果??是保运算的，即对所有的α、b∈S有??(α*b)=??(α)*??(b),那么??称为同态映射。当??为满射时，则称S2是S1的同态像。当??是双射时，则称??是同构映射。此时就说半群S1和S2是同构的,记为。如果S2是一个幺半群，含有单位元素e2,那么把S1中映成e2的那些元素组成的集合称为同态映射??的核，记为Ker(??)。
如果一半群S有单位元素e且有逆,即对于任何α∈S总有元素b使得α*b=b*α=e，那么半群S是一个群。如果半群S的一个子集A满足条件,那么子集A称为S的左理想。同样可定义右理想。若A非空且A≠S，则称A是S的真理想。若半群 S无真的左理想，则称A是左单纯的。同样可定义S是右单纯的。
一个半群是群的充分必要条件为：它既无左真理想，又无右真理想。一个有限幺半群是群的充分必要条件为：单位元素是这个半群的惟一幂等元素。
设R是半群S上的一个等价关系,如果对所有的z∈S，当xRy时总有x*zRy*z，那么等价关系R称为右不变的。同样可定义左不变的等价关系。如果半群 S上的等价关系R既是左不变的,又是右不变的，那么R称为S上的合同关系。
设R是半群S上的合同关系,集合S/R是S在关系R之下的等价组集合,[x]R是S中和x等价的元素组成的等价组。若把等价组之间的二元运算*定义为，则S/R是一个半群。设MR是如下定义的由S到S/R上的映射:MR(x)＝[x]R,x∈S,[x]R∈S/R,则MR是一个同态映射。S/R 称为半群S对于R的商半群。
近年来,半群的理论在计算机科学中得到了应用,引起人们的重视，并成为数学家和计算机科学家深入研究的对象，有了迅速的发展。
参考书目
E. Hille,Functional Analysis and Semigroups, American Mathematical Society, New York,1948.
A.H.Clifford and G.B.Preston,The Algebraic Theory of Semi groups, American Mathematical Society, Pronidence, Rhode Island,1967.
M.A.Arbib,Theories of Abstract Automata, Prentice Hall,Englewood Cliffs, New Jersey, 1969.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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