补充资料：广义解

广义解
generalized solution

　　广义解〔笋.阁助目吸自丘旧;丽浦叫eH毗衅ulel..] 微分(伪微分)方程古典解概念的一种推广.数学物理中的许多问题导致此概念的产生，在这些问题中要求把非足够次可微的函数，甚至无处可微的函数，以及更一般的对象诸如广义函数、超函数等等看作为微分方程的解.这样，广义解的概念即与广义导数(罗讹讯】i到山幼垅币记)和广义函教(罗淤区血目细Ic-由n)的概念紧密相关.广义解的概念可追溯到L .Eu-打(fg】). 微分方程 乙(、，D)(。)二艺a:D·u(x)=f(x)，(1) l区{落mf任。，(O)，a:6C的(O)，在类D’(口)中的一个广义解(脚e饭血司501以沁n)是在口中满足方程(l)的D‘(O)中的任一广义函数u，即对于任意检验函数甲〔D(0)，等式(u，f伞)=(f，叻成立，其中L*是琢脚列笋意义下L的伴随算子: L’，一，，蒸二‘一，，’“‘D“‘a。，，· 微分方程边值问题的广义解必须在某种适当的广义下(在气(日0)或刀润0)中，等等)满足边界条件，例如，当r~l一0时，在LZ({51=l)中u(rs)~u(s):或者，当t~+0时，在D‘中u(x，t)~“。(x). 对于微分方程的边值问题，在用变分方法求解时，在应用差分方法时，以及在应用R川d曰法(Founern坦山记)、极限吸收原理(h川tah刃rptionPrirldP】e)极限振幅原理(】耐山艰一助叩11橄记eP们盯aP怡)、拟粘性法等等作为古典解的弱极限时产生了广义解. 例.1)方程扩u’=O在D’(R)类中的通解由 一刀(工)生cl士几叭x)十C。歼工)-给出，其中0是Hea油北七函数:x)0时，0(x)=1;x<0时，口(x)二0;占是Din沈d日恤函数(delta-丘mCt沁n);此外，在这里以及下文中的C:，q，…是任意常数. 2)方程护杯十u二O在C伪(R)类中只有一个解，即以一x)e’/x;而在超函数类中，它的通解由公式u(x)=qe，“x一‘0)+Cse’/(x+‘0)+C6a(一x)e’‘X给出. 3)波动方程u，，=aZux:在C(R，)类中的通解由公式u(x，r)=f(x+at)+g(x一a艺)给出，这里f和g是C(R)类中的任意函数. 4)U户眼方程(Upl暇闪送币。n)△。=0在D’(O)类中的每个解u在O中是(实)解析的. 5)热传导方程(h乏t闪uat沁n)。:=少△u在D’中的每个解u是无穷次可微的. 6)每个具有常系数的微分算子L二0都有了类的(缓增)基本解(几叹纽mm因阳lu石on). 7)令L(D)举0是任一常系数微分算子.如果O是一个有界区域，那么对于LZ(O)中任意的f，方程L(D)u=f有广义解u在LZ(O)中. 8)边值问题 △u=f，ul。口=0，feLZ(O)(2)在Co励。类w;”(0)中的广义解u作为求二次泛函 ‘(·卜)(，睿·:‘·2帅‘·在w八o)类中的极小的经典变分问题的解而得到.对于LZ(0)中任意的f，这个变分问题的解在w盗”(0)类中存在并唯一这样，对于所有的fe LZ(O)，边值问题(2)的广义解给出了算子△的一个自伴扩张(刚扩张，或Fri改州chs扩张).边值问题(2)的广义解及其所有一阶导数在O中是正则的(即，是O中的局部可积函数);一般而言，它的二阶导数是奇异广义函数.【补注】当解属于D‘(O)时边界值和边界条件的概念的推广需要特别的说明，例如，见L .H6m岌闭阮厂nra蒯声15 ofljl长arpart认ldi晚m吐园。详份tors，第3卷，附录B中的讨论. 有关(拟)粘性法，亦见粘性解(v‘。招ity solu.tio璐).陆柱家译
　　

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