补充资料：Stone空间

Stone空间
Stone space

　　stol祀空间【Sto此明ce;CTo，a npoe那阳c几01，BOD]e代数、的 其全体开一闭子集组成的集域同构于扩的全不连通紧空间(X，:).这个空问可以由刀用下述方法典型地定义:X是刃的全体超滤子(ultrafilter)组成的集合，而其拓扑:是由形如{亡任X二A〔列的子集族生成的，其中A是才的一个任意元素.也可用、的极大理想集或二值同态集或沙上二值测度集(各赋以适当的拓扑)来代替超滤子集.同构的Boole代数有同胚的Stone空间.每一个全不连通的紧空间都是它的开一闭集Booje代数的Stone空间， Stone空问概念和它的基本性质由M .H .stone(1934一1937，见【l」)发现并研究. 一个Boole代数的Stone空间是可度量化的，当目.仅当此Boole代数是可数的，一个BOole代数是完全的，当且仅当它的Stolle空间是极不连通的(即空问中任意一个开集的闭包是开集).完满Cantor集(Calltor set)是可数无原子Boole代数的Stone空间(它们都同构).广义Cantor间断集Dm是具有川个生成元的自由Boole代数的Stone空间.[补注]一个Boole代数上的超滤子(ultrafilter oxlaBoolean algebrd)是基础序集上的一个极大滤子(filter). Boole代数一种较新的好参考书是【A21. 术语“Stone空间‘，时常作为“全不连通紧空间”的同义语，虽然对这个概念也有人使用“Boole空印J(Boolean spaee)”一词.Boole代数和它们的Stone空间之间的对应关系是一个范畴对偶(见对偶范畴(dual catego即”;于是，如果万和刃.分别是具有StoDe空间X和X，的Boole代数，则Boole同态万~洲，一一对应于连续函数X，一，X.用这个对应，可以把关于Boole代数的代数定理转化为关于Stone空间的拓扑定理，或者反之.例如，完全致))le代数在全体色洲〕le代数组成的范畴中是内射的这一Sikorski定理(S伽rski theoleln)(见内射对象(injec-tive object))、对应于极不连通空间在Stone空间的范畴中是射影的这一Gleason定理(Gleasonthe。·rem)).详见【All.
　　

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