补充资料：量子群

量子群
quantum groups

t子群呻皿血.孚说衅;~功脚e印担.】【补注】“量子群”一词差不多是“H向喊代数”(HoPfal罗bra)的同义词.更确切地，量子群范畴在〔AI]中定义为HoPf代数范畴的对偶范畴.下述原因表明、这是自然的.存在一般性原理:函子X、{X上的函数代数}是“空间’范畴和交换结合的也许带有某些附加结构或性质的么代数范畴之间的反等价(若将“空间”理解为“仿射概形”或“紧拓扑空间”，将“代数”理解为“c‘代数”，则这个原理则成为一个定理.)这样可以把群的定义翻译成代数语言:取代带有结合运算GxG~G的空间G，得到交换环k上的交换代数A，带有一个同态△:A~A OA，称为上乘法(co孤il石p玩卫tion);单位元e任G导致一个同态。:A~k，称为上单位(co~u苗t);映射9.~g一’，厂G，导致一个k线性双射S:A~A⑧A，称为对映体(如印川e).群公理等价于下图的交换性: A因A~，。. A了老A公A公A 。、梢QA洲气，d !d ld A~AA神A :去!!:4}} A⑧A赢AOk AOA.品kOA 二心公S爪 A、*AOA、A匆A*_A 、k产 山吕g心m A、*A孕A、A必A*_A 、k产这里川(a因b)二ab，i(c)=c·1月.这些图的交换性意味着(A，△，。，S)是一个交换HoPf代数.由于群范畴同交换H。对代数范畴反等价，自然地可以将量子群定义为HoPf代数〔不一定是交换的)范畴的对偶范畴中的对象. 非交换群的群代数构成一类简单的非交换Hopf代数.这些Hopf代数是上交换的，即△(A)含于A⑧A的对称部分之中.实质上，所有的上交换Hopf代数都是群代数. 这里有一个既非交换又非上交换的Hopf代数的例子.固定n任N，q6k，这里k是一个交换环.记A为一个结合k代数，其生成元为戈，(l续i，j城n)，定义关系为戈，xi，二qx，lxl，，若j了;[x，，x*，]二(、一’一。):，，x*，:若i>k，l>，;艺卜.、。、!‘，…称，·(一的‘低，盯刁一1，这里l(il，…，心.)是置换(i、，一，i。)的反演数则A有一个由△(x。

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