补充资料：形式群

形式群
formal group

　　形式群[众肋司gm叩;巾opMa月‘.a，rpyuoa] 局部块群(Liegro叩，local)概念的代数模拟.形式群理论在代数几何学、类域论和配边理论中有许多应用. 域k上的形式群是k上连通仿射形式概形范畴中的群对象(见!l」，【4」，【6」，【71).设注为交换N吮吐℃r局部k代数，其极大理想为阴，剩余类域为k，且关于m进拓扑完全.再设坑是从代数范畴到集合范畴的函子，代数B在几下的象为把。映到B的幂零元集合戒(B)里的代数同态A~B的集合，则连通仿射形式概形是有限维交换k代数B的范畴到集合范畴里的共变函子H，它同构于某个从.H是群对象，意思是指在‘所有的集合H(B)上有一个给定的群结构，使得对每个k代数同态B、一凡，对应的映射H(B1)~H(凡)是群同态.若所有的群H(B)都是交换的，则形式群H称为交换的.每一个k上连通群概形(91飞〕叩scheme)G定义了一个形式群G:B~G(B)，这里可以取A为G在单位元处的局部环的完全化. 如果A是k上n个变量的形式幂级数环k[【戈，…，戈」]，则H称为n维形式Lie群(n一d~nal fonm以1Liegro叩).对于k上连通代数群阅罗braicgro叩)G，G是形式lje群.作为集合范畴的函子，形式L沁群H同构于函子D”:B~成(B)”，D”把代数B映到B的幂零根nil(B)的n次E七弧art巴积.集合H(B)=成(B)”上的群结构由形式群律(几爪以!grouP law)所给出，形式群律就是2n个变量戈，…，戈，艺，…，Yn的n个形式幂级数的集合:只(Xt，…，戈，YI，…，勒，”‘， 瓦以，二，羔，yl，…，玖)，它们满足如下条件: 互(X，0)“茂，月(0，y)“丫， 月(x，，·“，戊，只(y，Z)，·‘，只(y，Z)) =万(F.(x，y)，…，式(X.Y)，21，…，乙)，这里X=(戈，…，戈)，Y=(犷，…，U)，Z二(Zl、…，乙)，0二(0，…，0).集合H(B)二nil(B)”上的群律由公式 (x.，…，戈)(J，.，.扎)二仓1，·，动(*)给出，这里:二万(x.，…，戈，夕，，…，几).由于x，y是幂零的，级数中除了有限项外为零.每个形式群律通过(*)给出了耐(B)”上的群结构，且把函子了转变为形式L记群.形式群律和形式Lie群的概念能推广到基环是任意交换环的情形(见【2]，15]).有时讲一个形式群就是指一个形式Lie群或一个形式群律. 正如局部块群(Lje group，local)一样，可以定义形式Lie群的L记代数.特征O的域人上的形式Lie群和它的琉代数之间的对应关系定义了这两个范畴的等价.特征p>0的情况更加复杂.例如，在代数闭域(对于P>0)上有可数多个两两非同构的一维交换形式Lie群(11])，而所有一维Lie代数是同构的(【31).利用Dieudon淤模对有限特征的完满域上的交换形式庆群进行了分类(见【11，「6j). 域上的形式群的理论能推广到以任意形式概形作为基概形的情形(17]).【补注】万有形式群律(一过fom以1 91〕叩hw)(对于。维形式群律)是。

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