补充资料：典型群的表示

典型群的表示
representation of the classical groups

　　典型群的表示【卿rese川ta垃刃of血das次aig川即s;npe皿T姗e””:。ac叨、ee洲x明nn)，在张童中的 群GL(V)，SL(V)，O(V，f)，50(V，f)，SP(V，f)在V的张量幂T，(v)的不变子空间中的线性表示(」泊earr印resentation)，其中V是域k上的n维向量空间，而了是V上的非退化对称或交错双线性型.若k的特征是零，则这些群的所有不可约的多项式线性表示都能用张量实现. 在k=C的情形，上述的群都是复L记群.除6L(V)外，所有的群的所有(可微)线性表示都是多项式的;CL(v)的每个线性表示都具有形式夕J~(det妇壳R(妇，其中k〔z，而R是一个多项式线性表示.典型的紧Lie群U。，SU，O。，50。及Spt与创门的复包络从(C)，SL。(C)，O。(C)，50。(C)以及Sp，，(C)有相同的复线性表示，_巨在张量空问中有相同的不变子空间.因此对典型复Lie群所得到的线性表示理论的结果可以过渡到相应的紧群，反之亦然(V几yl的“酉技巧”).特别地，利用紧群上的积分可以证明典型复Lie群的线性表示皆完全可约. GL(V)在T爪(V)上的自然的线性表示由下述公式给出 g(vl⑧一⑧v。)二9 vl⑧…⑧gy。， geGL(V)，v，‘V.在同一空间中，定义对称群S。:的一个线性表示如下 叔。;⑧…⑧。‘)一。。一(，)⑧…⑧。。一间， 口‘S，，v“V.这两个表示的算子是互相交换的，故在T，(V)中定义了GL(V)xs。的一个线性表示.若Chark二0，空间r气犷)可分解为极小(GL(犷)xs阴)不变子空问的直和: T’(V)=艺V*⑧u*.求和号是取遍m的包含最多n个被加数的全部分划又，U、是S，的对应于又的绝对不可约表示T*的空间(见对称群的表示(rePresentation of thes”nmetncgroup”，而V:是GL(V)的绝对不可约表示R、的空问.分划又可方便地表示为(又!，，4·，又。)、其中之、)之:)…)又。是非负整数一且艺)_、几二m. 子空间V*⑧U;CT川(V)分解成极小GL(V)不变子空间的直和，每个这样的子空间上都实现表示R、.利用与又相应的Y以吨对称化子(Yoting sym-Tnetri盯)可明白地获得这些子空间.例如，对又二(，n，0，一，0)(分别地，又二(l，二，l，0，二，O)，当脚蕊n)有dimU*二1，月.V*⑧U、是由所有对称(分别地，反对称)张量组成的极小GL(V)不变子空间. 表示R、由下列性质刻画.令B C GL(V)是在V的某基{el，…，。。

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