补充资料：换位子群

换位子群
commutatDr subgroup

　　换位子群[。.muta姗su吨阴p;劝MMyrallT印yun“]，导出群(derived grouP)，下中心列的第二项 群G的元素的全部换位子生成的子群，见换位子(commutator).G的换位子群通常用[G，G]，G‘或玩(G)表示.换位子群是全特征子群(fully一charaCteristicsubgrouP)，且包含换位子群的任何子群是正规子群.G对于某正规子群的商群是Abel群，当且仅当这个正规子群包含G的换位子群. 环R的换位子理想(commutatori山汾1 ofaring)是由所有乘积ab(a，b‘R)生成的理想，它也称为R的乎有(square)，用[R，R]或R，表示. 以上两个概念都是孚筝矛。群(multi一。perator0一『。uP)G的换位子群概念的特殊情况，这种群被定义成是由所有换位子及形如一al…a。。一bt…b。。+(al+b!)…(a。+氏)。(*)的所有元素生成的理想，其中。是Q中的n元运算，而 a，，…，an，b}.…，氏EG. H.H.B~只州‘，Q A HBaHoBa撰【补注l在环被考虑成算子Q群的情形，换位子(基础交换群的)全是零，于是换位子理想是由全体元素一a，aZ一b，bZ+(a.+aZ)(b，+bZ)=a，bZ+aZbl生成的理想. 更一般地，对全部3种情况，定义两个Q子群A，B的换位子群(理想)[A，B]，为所有换位子〔a，b](a‘A，b任B)及所有元素(*)生成的理想，其中al，…，气〔A，b.，…，玩任B. 在环R的情形，有另一个不同的概念，它也用换位子理想(~mutator idcal)的名字，这是由所有换位子ab一ba(a，b‘R)生成的理想.这个理想是关于R到交换环的同态的泛理想，即，若。是这个理想，7r:R~R曲=R八是自然投影，则对R到交换环A的每个同态g:R~A，存在唯一同态了:R曲~A，使得g=g’。兀(g通过兀唯一地分解).这类似于下面的性质:对通常的群，映射G~G。”=G/[G，G}关于G到Abel群的映射是泛映射，见泛I’q题(universal problems).
　　

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