补充资料：单一时期二项式模型

单一时期二项式模型


　　【单一时期二项式模型】我们的讨论从最为简化的单一时期模型开始。首先我们考虑以下一个具体的例子: 例1一只股票现价为印美元，已经知道三个月之后该股票的价格或者将上升至肠美元，或者下降到54美元。现在有一只关于该股票的欧式看涨期权，执行价格为62美元，到期日为三个月后，则理论上该期权的公平价格应该是多少? 首先，该期权在到期日的价值有两种可能:如果股价升到肠美元，则该期权价值为66一62二4美元;如果股价降为54美元，则该期权价值为0o 为求出期权此时的价值，我们仍然可以根据无风险套利机会的假设，利用该股票和期权构造无风险投资组合，从而计算出期权的价值。在只有两种证券及两种可能结果的情况下，显然这些是可以做到的。 我们以△股该股票多头同一个该期权空头构造投资组合。如三个月后股价升至66美元，则此组合价值为66△一4;如股价于三个月后降至54美元，则此组合价值为54△。为使此组合成为无风险组合，两种可能下的组合价值应该相等，即: 66△一4二54△ 也就是 △=l/3 就是说，我们可以通过买进113股该股票而同时卖出一个该股票看涨期权，以构造无风险投资组合。如股价升至肠美元，该组合价值为66 xl乃一4=18美元，如股价降至54美元，其价值为54 x 113=18美元。无风险投资组合的收益率必须等于无风险利率水平，否则会有无风险套利机会出现。假定无风险利率为8%(年率，连续复利)，则上述投资组合的现值为 18e一0.璐‘0·乃二17.酬4 因而有60xl/3一c=20一。=17.酬4 即e=2 .356 在无风险套利机会不存在的情况下，该股票的欧式看涨期权的价格应该是2 .356美元。 实际上，我们可以对例1所讨论的情况加以总结延伸。我们继续延用在第五章中使用的符号。另外，我们以u和d表示股价变动幅度系数(u>1，d<1)，c。和cd表示股价上升和下降两种情况下欧式看涨期权在到期日的内在价值。这一单一时期股价及期权价值变动可以由图l表示。 乳 /一’。胃 一\﹄/一 /一 \j ，找 Sc 图1单一时期的股价及期权价值变动 我们知道，c。二Max(0，su一X)，cd=Max(0，泌一X)。同例1中一样，我们以股票及期权构造无风险投资组合，即在卖出一个看涨期权的同时，买人△股股票。我们选择一个△值使得在到期日该投资组合的损益一样，因而有: Su△一c。==Sd△一cd△=(l) 因无风险投资组合的收益只能是无风险利率，在建立此组合成本为S△一C的情况下，有: S‘入一e=(Su△一。。)e一f『 上_式的左端为投资组合的初始成本，右端为到期日回报的现值。将式(l)代人上式，经过简化整理，可得:、、尹、，2几、︸了.，、了.、其中仁甲.、+(l一q)ed] e汀一d q=~了万 式(2)及(3)构成了单一时期欧式看涨期权的二项式定价模型。在例(l)中，有u二11，d=0 .9，r=0.08，T=0.25，e。=4，e，==0，据式(3)，有: e0佣““25一0 .9 q二兰万下~一下卡匕二0.印10 性一1.卜0.9--·-一 又据式(2)，有:一o哪X025「0.团10 x4+(l一0.印10)x.356结果同例(l)中计算的一样。
　　

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