补充资料：除环

除环
skew-field

除环[盛户即币d目;“加] 一个环，当a笋O时方程ax=b和ya=b在环中有唯一解.在结合环的情形(见结合环与结合代数(砚粥沉i而凭仙邵如da堪eh超”，只要求存在单位元1，以及对任何a尹0，方程ax二l和夕a=l存在唯一解.交换结合除环称为域(反ld).非交换的结合除环的一个例子是四元数除环(skew币eldofqUate而。留)，定义为复数域上形如 「a石1 L一b丁」矩阵的集合，运算是通常的.见四元数(q碳lternion).非结合除环的一个例子是Cayl盯一场己洲翔代数(Q功即-Dicksonal罗腼)，由四元数除环上的具有上述形式的所有矩阵组成.这个除环是交错的.见交错环与交错代数(alteIT迢ti记月刀邵andal罗b找巧).任何除环是一个可除代数(division algebm)，或者是有理数域上的，或者是剩余域F，=z/(川上的·四元数除环是实数域上的4维代数，而O动即一Dicloon代数是8维的.实数域上任何可除代数的维数等于1，2，4，或8(见〔11，亦见拓扑环(topofogiod ring)).实数域和复数域以及四元数除环，是仅有的连通的局部紧的结合除环(见【5】)，任何无零因子的有限维代数是一个除环.任何有限结合除环是交换的(见f6]，【81).结合除环可以被任意非零模是自由模这一性质所刻画.任何非结合除环是有限维的(【3」)类似结果适用于Ma月Lu，B除环(17])(见Ma月叫e.于勺教(M司飞亡v川罗bI’a))和Jordan除环(工41)(见J谊止口代数(Jor-山功a】gebrd)).与交换情形不同，并非每个无零因子结合环都可以嵌人到一个除环内.见环的嵌入(如比d-ding ofn列邵).【补注】结合除环，尤其是在其中心上有限维的结合除环，亦称为除环(division 11列努).有关嵌人问题见「AI」. R上仅有的结合可除代数是R，C和H，即四元数代数.这一事实作为Frobe亩uS定理(FrobeniuSU长幻~)而众所周知的.

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