补充资料：相关(统计学中的)

相关(统计学中的)
correlation (in statistics)

相关(统计学中的)【c~lati佣(in 5.肠币哟;峨明卿1一.，l 随机变量之间的一种依赖关系，不一定能用严格的函数关系表出.与函数依赖关系不同，相关关系通常用在一个随机变量不仅依赖于(给定的)另一个随机变量，而且还依赖于若干随机因素的场合.两随机事件之间的依赖性体现在一事件在另一事件发生下的条件概率，与其无条件概率不同.类似地，一个随机变量对另 一个的影响由其在给定另一个的值时的条件分布去刻画.设X，Y为有给定联合分布的随机变量，其期望为mx和脚、而方差为耐和时，且设p为X和Y的相关系数，设对每一个可能值X二x，Y的条件数学期望y(x)二EfYJX二x]有定义;这时，函数y(x)称为Y对给定X的回归(regression)而其图形则称为Y对给定X的回归曲线(regression拟rve).y对x的依赖体现在当x变化时y的均值的变化，仅管对每个固定的值X二叉.y依然是一个具有一定散布的随机变量.为了确定在何种精确程度上回寸1再现了当X变化时Y的变化，人们使用给定X二x时Y的条件方差或者其平均值(Y围绕着回归曲线的散布的度量): 。飞一{，二日Y一日川丫二x)l=.若X和Y独立，则Y的一切条件数学期望与x无关且与其无条件期望重合二，(x)二。丫:因而也有弓}、一心·当Y在严格的意义下是X的函数时，则对每个X二戈，变量Y只能取一个确定的值，因而成、二0.类似地，可定义义妙)二E(XIY=力(X对给定y的回归).分布在回归曲线夕扛)附近的集中程度的一个自然指标是相关比(correlatlon ratio) J气J、 刀乍{飞二l---—. 仃落当且仅当回归具有形式y恤)二m:时，有喝二=0，而在这个场合下相关系数p为0，Y与X不相关，若Y对给定X的回归为线性的，即回归曲线为直线 0、 少(x)二m、十p万一t丫一脚天)， 仃飞则有 a亏，}、二a亨(l一pZ)。nd。孚1，二。2:若进一步有}P1二1，则Y与X有严格线性关系;但如果琳{、=声<、，则y和X之间不存在函数关系.当且仅当声<杭}、二l时，存在着非线性关系的严格函数关系.除了某些稀有的例外，仅当X和Y的联合分布为工态 (或接近正态)时，实际使用相关系数作为缺乏独立性 的度量才是合理的，因为在正态场合，夕=0蕴含X、Y独 立.用P作为任意随机变量万，y的相依性的度量经常 引致错误的结论，因为即使在存在着函数依赖关系时，户 也可以为0如果X和Y的联合分布为正态的，则两 条回归曲线全是直线，而p唯一地确定了分布在回‘{」线 附近集中的程度:当1州=1时，回归线合二而一，相应于 X，Y之间的线性相依;当p=0时则有独立性. 在研究具有给定的联合分布的多个随机变量X!，…， 戈之间的相依性时，人们使用多重和偏相关比及系 数.后者是使用通常戈和戈间的相关系数而得到 的.其全体形成相关阵(correlation matrix) .X，与 其余变量凡，…，戈的全体之间线性关系的度量，由多皿 相关系数(multiPle一correlation众伍dent)提供. 如果X，和戈之间的相互关系被认为是由其他变量戈， …，戈的影响所决定的，则Xl和戈相对于戈，一，，几的 偏相关系数(Partial correlation coeffident)是相对 于X:，…，刃。的、X、和戈之间的线性关系的一个指 标. 对基于秩统计量(rank statistje)的相关性r均度 量，见Kendail秩相关系数(Kendall coeffident of::ank correlation);S衅anll皿秩相关系数(S讲armano犯伍- dent of rank correlation) 数理统计学发展了一些方法，以估计那些刻画着随 机变量之间的相关性的系数;也有一些方法利用它们的样本对等物检验有关它们的值的假设.这些方法统称为担养分哲(correlaiion analysis)·统计数据的相关分析包含下述的基本实际步骤:l)作出散点图并编出相关表;2)计算样本相关比或相关系数;3)检验有关相依的显著性的统计假设.进一步的研究可包含建立变量之间相依关系的具体形式(见回归(regression)). 对分析二维样本数据有助益的工具中，有散布图和相关表.散布图(scatter Plot)是由把样本点标在坐标纸上而得到的.对散布图上点的形势的考察，产生出有关随机变量之间的相依类型的初步概念(例如，当一个变量增加时，另一变量平均说来增加或减小).在作数值处理前，通常把观察结果分成组，并以相关表(correlation table)的形式提出.在这表的每一栏中，写进其分量落人适当的组区间的对(x，力的数目n，j.假定所有组区间(分别对每一变量言)等长，则取区间的中心x‘(或yi)及数。，，作为计算的基础.相关系数和相关比能比散布图提供更确切的变量关系的性质和强度的信息·修夺担羊枣熬(sample correlation二伍dent)用公式 艺艺(x，一刁仍一歹)n。 久一一一一一一一匕习二一一一一一 p一7荞育磷不下来定义，这里 n，=艺nij，。，=’艺nij jI而 艺n，x，艺。jy] 二一—下一习匕一一一 X=—，V一—· n月 在有大量数目的、遵从同一近似正态分布的独立观察值的情况下，户是相关系数真值p的一个良好近似，在所有其他场合，建议采用相关比作为关系强度的一种刻画;其解释与所研究的关系类型无关.相关比心.、的样本值解{、是从相关表中的值，用公式 生，。佩一、、2 n— ，I Y IX一 —夕n注V;一V，- n丁算出的，其中又一乙nijyj/n，·这里分子代表条件均值又围绕着无条件均值歹的散布(样本值蛤:的定义是类似的).亏Yx一户’这个量用来指示回归对线性的偏离. 有关变量关系显著性假设的检验，是基于样本相关特征的分布的，在正态分布场合，如果l，。一2)一， (。)一l，+才{则样本相关系数值莽显著异于0，这里气是自由度为(”一2)的Studentt分布相应于选定的显著性水平“的临界值.如果p笋0，人们通常使用Fisher的z变换，它按公式 :一李1。{上生} 2一11_又} tl一PJ把户变换到:.即使对于比较小的n值，:的分布也是具有数学期望 土，_1土卫二一曰巴一~ 2“‘l一pZ(n一l)和方差l/(n一3)的正态分布的良好逼近.在这个基础上，可以对相关系数真值P确定近似的置信区间. 关于样本相关比的分布，以及回归线性假设的检验，见[3].

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